feat: hice hasta donde me dio la cabeza

Calculo II/22_4.org

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+#+title: Tercera Clase
+#+options: num:1
+
+* Correccion de los ejercicios de la clase anterior
+- [X] 14
+- [X] 15
+- [ ] 17
+
+* Graficacion de funciones
+- [ ] 24
+- [ ] 25
+- [X] 28
+  \begin{center}
+  $f(x, y) = 1 + 2x^2 + 2y^2$
+
+  $Z-1 = 2x^2 + 2y^2$
+  \end{center}
+
+  Es un *paraboloide*.
+  
+- [ ] 29
+- [X] 30
+  \begin{center}
+  $f(x, y) = \sqrt{4x^4 + y^2}$
+  \end{center}
+
+  Es un *cono* solo positivo.
+  
+* Curvas de nivel
+- [ ] 43
+- [ ] 47
+- [X] 49
+- [ ] 53
+
+* Limites: doble, sucesivos y radiales
+** Limites y continuidad
+Cuando ambos X e Y tienden a 0. Pero notese que ninguna de las funciones estan definidas en (0, 0)
+
+\begin{center}
+$\frac{sen(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$
+\end{center}
+
+\begin{center}
+$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
+\end{center}
+
+Lo que vamos a calcular es: \lim_{(x;y) \to (0,0)} f(x, y)
+
+** Definicion
+Para indicar que los valores en (x, y) se aproximan a (a, b) se utiliza la notacion
+
+\begin{center}
+$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = L$
+\end{center}
+
+*** 1
+Si la funcion no esta definida por tramos y no hay indeterminacion el limite se calcula reemplando (x, y) por  (a, b) em ña exŕesopm de ña dimcopm
+
+*** 2
+si la funcion esta definida por tramos o hay indeterminacion. Pero ¿como calcular un limite doble cuando hay indeterminacion?
+Existen 3 formas
+
+- Tratar de salvar algebraicamente la indeteminacion (es decir, factorizando la expresion en f).
+
+- Separar las variables X e Y de manera tal que f puede escribirse como suma, producto o divicion de dos funciones, Una con la variable *X* y la otra en la varianle *Y* Luego se calcula un limite en las funciones de una variable.
+
+- Si no es posible aplicar los passos anteiores, tratar de expresar g como producto de una funciones acotada por otra que tiende a 0
+  
+** Limites Iterados
+Consiste en aproximarse por medio de textas paralelas a los ejes coordenados.
+
+\begin{center}
+$L_1_2 = \lim_{x \to a} \( \lim_{y \to b} f(x, y)$
+
+$L_2_1 = \lim_{y \to b} \( \lim_{x \to a} f(x, y)$
+\end{center}
+
+- Si ambos existen y son distintos no hay limite.
+
+- Si ambos son iguales ( L_1_2 = L_2_1 ) o uno de los dos no existe no se puede confirmar nada.
+
+*** Metodo
+\begin{equation}
+$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
+\end{equation}
+\begin{center}
+$L_1_2 = \lim_{x \to 0} \( \lim_{y \to 0} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})$
+
+$ = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 0}{x^2 + 0} = \frac{1}{1}$
+
+$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1} = 1$
+\end{center}
+
+Ahora voy a chequear el otro iterado
+
+\begin{center}
+$L_2_1 = \lim_{y \to 0} \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})$
+
+$ = \lim_{y \to 0} \frac{0 - y^2}{0 + y^2} = -\frac{1}{1}$
+
+$\lim_{y \to 0} \frac{-1}{1} = -1$
+\end{center}
+
+No es lo mismo L_1_2 que L_2_1 por lo que *No hay limite*.
+
+** Limites Radiales
+#+begin_quote
+_Se usa cuando los limites iterados fallan._
+#+end_quote
+
+consiste aproximarse al punto (a, b) mediante el uso de una pendiente *m*.
+
+\begin{center}
+$\lim_{x \to a} f(x, m(x - a) + b)$
+\end{center}
+
+Si al reemplazar y por *x(x - a) + b* el limite existe y depende de m entonces se concluye que el limite doble no existe.
+
+*** ejercicio
+
+\begin{equation}
+$\lim_{(x,y} \to (0,0)} f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$
+\end{equation}
+
+\begin{center}
+$L_1_2 = \lim_{x \to 0} \( \lim_{y \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2})$
+
+$ = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^2 + 0} = \frac{0}{0} = 0$
+\end{center}
+
+Ahora probamos con L_2_1
+
+\begin{center}
+$L_2_1 = \lim_{y \to 0} \( \lim_{x \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2})$
+
+$ = \lim_{y \to 0} \frac{0}{0 + y^2} = \frac{0}{0} = 0$
+\end{center}
+
+Dado que L_1_2 = L_2_1 no podemos definir nada, por eso pasamos a usar limites radiales
+
+_Sea y = m(x - 0) + 0_
+
+\begin{center}
+$f(x, m(x - 0) + 0 = $
+
+$\frac{x \cdot mx}{x^2 + (mx)^2}$
+
+$\frac{mx^2}{x^2 + m^2x^2}$
+
+$\frac{mx^2}{x^2 (1 + m^2)}$
+
+$\frac{ m }{1 + m ^ 2}$
+\end{center}
+
+Como la funcion depende de *m* no existe limite.
+
+** Por Curvas
+Consiste en hacer tender el punto (x, y) al punto (a, b) por medio de curvas dentro del dominio de f. Algunas de las curvas que se pueden usar son:
+
+\begin{center}
+$y = m(x - a)^n + 0$
+\end{center}
+
+*Hacer pagina 17 de las diapositivas clase 3*