#+title: Sucesiones Y Series Infinitas 1
#+options: toc:nil

* ¿Que son?
son iteraciones al infinito sobre una funcion.
- por ejemplo:
        \begin{center}
        \left  \{  \sqrt{n-3}    \right \} ^\infty _{n = 3} = \left \{ 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2 ... \right \}
        \end{center}

* Limite a la sucesión
tenemos que calcular que un limite de la funcion al infinito exista.

\begin{center}
$\lim_{x \rightarrow \infty} = a_n = L$

$f(x) = \frac{1}{x}$

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$
\end{center}

*Pero* si el limite que no existe:

\begin{center}
\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty
\end{center}

Para todo n^a positivo M existe un N tal que si n>N \Rightarrow a_n > M.

** Ejemplo
\begin{center}
\left \{ a_n = n \right \}^\infty _{n=1}
\end{center}

* Leyes de los limites
\begin{center}
$\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \pm\lim_{n \rightarrow \infty} b_n$
\end{center}

\begin{center}
$\lim_{n \rightarrow \infty} c*a_n = c\lim_{n \rightarrow \infty} a_n$
\end{center}

* Valor Absoluto
\begin{center}
$\lim_{n \rightarrow \infty}\left | \frac{(-1)^n}{n} \right | = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$
\end{center}
Si eso se cumple el limite \lim_{n \rightarrow \infty} \left | a_n \right | = 0\\
entonces \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0

* Si hay que toquetear la funcion
\begin{center}
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = \frac{lim_{n \rightarrow \infty} 1}{lim_{n \rightarrow \infty} 1 + lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x}}= \frac{1}{1+0}= 1$
\end{center}

** Otro ejemplo
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ln(n)}{n}

aplicamos *l'hopital*?... si pero cuidado porque no esta definido en los no reales.

f(x) = ln(x) * \frac{1}{x} = \frac{1}{x} * 1 = 0

** Another one
Determinen si la sucesion a_n = (-1)^n. converge o diverge.

\begin{center}
\begin{align*}
 n = 1 = (-1)^1 = -1\\
 n = 2 = (-1)^2 = 1\\
 n = 3 = (-1)^3 = -1
\end{align*}

rta:

$\left \{ (-1)^n = [-1,1,-1] \right \}$

\end{center}
*

* Nota
Monotona = que tiene un valor final.

* Practica pagina 733
- 14
        \begin{center}
        $\frac{(-1)^n}{3^n}$
        \end{center}