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Signed-off-by: federico polidoro <federico.nicolas.polidoro@gmail.com>

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Discreta/ResumenParcial1.md

@@ -0,0 +1,127 @@
+--- 
+title: Resumen Parcial 1
+author: Federico Polidoro
+---
+
+# Clase 1
+## Grafos
+Los grafos pueden ser descriptos como Graficos compuestos por nodos y vertices que conectan dichos nodos. Tales Vertices pueden o no ser Dirijidos.
+
+## Grados
+Estos consisten en el numero de la cantidad de aristas a la que esta conectado un vertice o nodo. Pero en el caso de un grafo dirijido vamos a tener un grado de entrada y otro de salida los cuales se cuentan de forma individual las aristas que llegan o salen de ese nodo.
+
+## Ciclos
+Es cuando una arista va de un vertice al mismo vertice.
+
+## Tipos de Grafos
+Existen diferentes tipos de grafos estos son:
+- Dirijido  
+    Es un Grafo en el cual las aristas tienen una direccion predefinida.
+
+- Completo
+    Es un Grafo donde todos los vertices estan interconectados entre si directamente.
+
+- Ciclo
+    Es un Grafo donde todos los vertices estan conectados de forma secuencial por ejemplo el a-b-c-d-al Similar al token ring.
+
+- Rueda
+    Este es como el Grafo ciclo pero hay un nodo extra que esta conectado en el centro con los demás.
+
+- Estrella
+    Este es similar a como funciona el 802.11 donde todos los vertices estan directamente conecrados con un vertice central.
+
+- Regular
+    Es un Grafo donde todos los vertices tienen el mismo grado.
+
+- Conexo
+    Es un Grafo donde no hay vertices sueltos sino que es posible crear un camino de cualquier vertice a cualquier otro.
+
+## Matrices
+### Adyacencia
+Siempre es cuadrada e contiene una relacion entre los vertices y con cuales estan relacionados  
+Por ejemplo en un triangulo.
+
+|   | A | B | C |
+| A | 0 | 1 | 1 |
+| B | 1 | 0 | 1 |
+| C | 1 | 1 | 0 |
+
+### Incidencia
+Una matriz de incidencia tiene la relacion entre el vertice y la arista volviendo al ejemplo  
+
+|   |e1 |e2 |e3 |
+| A | 1 | 1 | 0 |
+| B | 0 | 1 | 1 |
+| C | 1 | 0 | 1 |
+
+En esa tabla se ve que la arista 1 se conecta entre el nodo a y c, la 2 con a y b y la 3 con b y c. Dado que el ejemplo queria mostrar un triangulo.
+
+# Clase 2
+## Grafo Plano
+Este es un grafo el cual sus aristas no se cortan entre si al momento de la graficacion. Se puede re ubicar todos los componentes mientras no se alteren sus relaciones, para poder mostrar si es plano o no.
+
+## Arboles	
+Consiste de un Grafo Conexo sin ciclos. Existe un tipo de arbol dirijido conocido como arbol con raiz
+
+# Clase 3
+## Arboles Recubridores
+En un marco teorico en el cual necesitas conectar todos los vertices usando la menor cantidad de conexiones posibles lo que estas buscando es una estructura de arbol. Un Arbol recubridor se puede observar en grafos como un subgrafo con forma de arbol y que contiene todos los vertices del grafo dado.
+
+## Minimales
+Para ciertas aplicaciones interesa conocer el arbol recubridor de peso minimo, dandole un peso a cada union lo que busca es uno el cual tenga el menor costo de intalacion. (no se si me explico). Tambien existen los maximales que son literalmente lo opuesto.
+
+## Busqueda de Profundidad
+Es un algoritmo de busqueda en el cual se empieza elijiendo los nodos más superficiales ( a -> b -> c )
+una vez que llegamos al final volvemos para arriba 1 nodo a la vez buscando si hay algun nodo que no hayamos encontrado para ir hacia ese en caso de no haberlo vamos 1 más para arriba
+
+## Busqueda a lo Ancho
+Es un algoritmo que intenta recorrer todos los nodos posibles lo que hacemos es tener dos arrays de nodos vistos y lo que hacemos es que primero añadimos los nodos que estan directamente conectados con el nodo que estamos parados al array de nodos vistos y añadimos el nodo en el que estamos parados al array de recorrido. Lo que sigue es ir al siguiente nodo y hacer lo mismo hasta llegar a nuestro destino final. El criterio para recorrer los nodos es que agarramos los que son más cercanos en numero de saltos al nodo inicial primero.
+
+# Clase 4
+## Recurrencias
+El concepto de la recurrencia viene de lo que en matematicas se llama una sucesion, es decir, un conjunto ordenado de numeros. 
+
+# Clase 5 
+## Recurrencias Lineales
+El ejemplo que se da en la clase es un: $a_n = c * a_{n-1}$ donde c es un coeficiente constante
+
+## Primer orden
+son las que el offset es de 1 $\pm$
+
+## Segundo orden 
+es cuando la diferencia entre los offset es 2 $\pm$ . Entre el qde menor offet y el de mayor.
+
+# Clase 6
+## Recurrencias No Homogeneas
+Una recurrencia no homogenea es cuando dentro de la secuencia esta contiene un elemento el cual no depende de la recurrencia por ejemplo un 
+
+$a_n = 2a_{n-1} + 3n$
+
+No es Homogenea mientras que un 
+
+$a_n = 2a_{n-1}$
+
+Si lo es, y si quisiera hacer esta ultima en una no homogenea podria hacer:
+
+$a_n = 3a_{n-1} + 3n$ 
+
+# Clase 7
+## Enteros Divisibilidad
+Se puede decir que un numero A es divisible por B y tambien por -B, o que B es multiplo de A. 
+
+## Primos 
+De la primaria sabemos que un numero primo es tal que solo puede dividirse por $\pm$ si mismo o $\pm$ 1 y todos los que no cumplen con eso son conocidos como **Compuestos**.
+
+## Teorema de la Aritmetica 
+Todo numero entero mayor a 1 se puede escribir como producto de numeros primos en forma unica.
+
+## Nota
+
+- MCD,
+   Maximo comun Divisor
+
+- MCM,
+   Minimo comun Multiplo
+
+
+	

Discreta/entrega2.org

@@ -2,57 +2,202 @@
 #+author: Martin Luraschi, Luca Troiano, Roy Herrera, Federico Polidoro
 #+options: num:nil toc:nil
 * 1. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación derecurrencia a_n = n a_{n-1}.
+- a_1 = 1
+- a_2 = 2 * a_1 = 2 * 1 = 2
+- a_3 = 3 * a_2 = 3 * 2 = 6
+- a_4 = 4 * a_3 = 4 * 6 = 24
+- a_5 = 5 * a_4 = 5 * 24 = 120
 
 * 2. - Dar los primeros seis términos de una sucesión de términos positivos que verifique la relación de recurrencia a_n = a_{n-1} / a_{n-2}.
+ - a_1 = 1
+ - a_2 = 2
+ - a_3 = a_2 / a_1 = 2 / 1 = 2
+ - a_4 = a_3 / a_2 = 2 / 2 = 2
+ - a_5 = a_4 / a_3 = 1 / 2 = 1/2
+ - a_6 = a_5 / a_4 = (1/2) / 1 = (1/2)
 
 * 3. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = a_{n-1} + n^2.
+1. a^1 = a^{1-1} + 1^2 = 1 + 1 = 2
+2. a^2 = a^{2-1} + 2^2 = 2 + 4 = 6
+3. a^3 = a^{3-1} + 3^2 = 6 + 9 = 15
+4. a^4 = a^{4-1} + 4^2 = 15 + 16 = 31
+5. a^5 = a^{5-1} + 5^2 = 31 + 25 = 56
 
 * 4. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = r a_{n-1}.
+1. a^1 = r * a^{1-1} = r*1 = r
+2. a^2 = r * a^{2-1} = r*r = r^2
+3. a^3 = r * a^{3-1} = r*r^2 = r^3
+4. a^4 = r * a^{4-1} = r*r^3 = r^4
+5. a^5 = r * a^{5-1} = r*r^4 = r^5
 
 * 5. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_{n-2}.
 
+1. a_1 = (1+1)a_{1-2} = 2 * a_{-1}
+2. a_2 = (2+1)a_{2-2} = 3 * a_{0}
+3. a_3 = (3+1)a_{3-2} = 4 * a_{1}
+4. a_4 = (4+1)a_{4-2} = 5 * a_{2}
+5. a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * a_{3}
+
+Esto verifica que hay una relacion de recurrencia porque todas los posibles terminos a_n siempre van a incluir un a_{n-2} vease si extiendo el a_5
+
+\begin{center}
+a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * a_{3} = 6 * 4 * a_{1} = 6 * 4 * 2 * a_{-1} = ...
+\end{center}
+
 * 6. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_{n-2} tal que a_0 = 2.
 
+0. a_0 = 1 * a_{-2} = 2
+1. a_1 = (1+1)a_{1-2} = 2 * a_{-1}
+2. a_2 = (2+1)a_{2-2} = 3 * 2 = 6
+3. a_3 = (3+1)a_{3-2} = 4 * a_1
+4. a_4 = (4+1)a_{4-2} = 5 * 6 = 30
+5. a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * 4 * a_1
+
 * 7. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = n a_{n-1} tal que a_3 = 18.
 
+1. a_2 = 6
+2. a_3 = 3 * a_{3-1} = 18
+3. a_4 = 4 * a_{4-1} = 4 * 18 = 72
+4. a_5 = 5 * a_{5-1} = 5 * 72 = 360
+5. a_6 = 6 * a_{6-1} = 6 * 360 = 2160
+6. a_7 = 7 * a_{7-1} = 7 * 2160 = 15120
+
 * 8. - Resolver las relaciones de recurrencia
 - a. a_n-2/3 a_{n-1} = 0, n \geq 1; a_0 = -1
+  \begin{center}
+a_{n} = \frac{2}{3} a_{n-1}
+
+a_{1} = -\frac{2}{3}
+
+a_{2} = \frac{2}{3} \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{9}
+
+a_{3} = -\frac{8}{27}
+  \end{center}
+
 - b. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n \geq 0; a_0 = 1
+  \begin{center}
+a_{n+1} = \frac{3}{2} a_{n}
+
+a_{n} = \frac{3}{2} a_{n-1}
+
+a_{n} = \left( \frac{3}{2} \right)^n a_{0}
+
+a_{n} = \left( \frac{3}{2} \right)^n
+  \end{center}
+
 - c. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n \geq 0; a_0 = -2
+  \begin{center}
+a_{n} = (-2) \left( \frac{3}{2} \right)^{n}
+
+  \end{center}
+
 - d. a_n+1 - 5a_n + 6a_{n-1} = 0 n \geq 1; a_0 = 0, a_1 = 2
+  \begin{center}
+r^2 - 5r + 6 = 0
+
+(r - 2)(r - 3) = 0
+
+a_n = A * 2^n + B * 3^n
+
+a_0 = A * (2)^0 + B * (3)^0 = A + B = 0
+
+A = -B
+
+a_1 = A * (2)^1 + B * (3)^1 = A2 + B3 = 2
+
+A2 + B3 = 2
+
+(-B)2 + B3 = 2
+
+B = 2
+
+A = -B = -2
+
+a_n = -2*2^n+2*3^n
+  \end{center}
+
 - e. a_n+1 = 4a_n - 5a_{n-1}, n \geq 1; a_0 = -1, a_1 = 3
+  \begin{center}
+Uh...
+  \end{center}
+
 - f. a_n = 4 a_{n-1} - 4a_{n-2}, n \geq 2; a_0 = 6, a_1 = 8
+  \begin{center}
+a_n = (6-2n) * 2^n
+  \end{center}
+
 - g. a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}, n \geq 2; a_0 = 1, a_1 = 2
+  \begin{center}
+a_n = 1 + n
+  \end{center}
+
 
 * 9. - Dada la relación de recurrencia 8 a_{n+2} + 4 a_{n+1} - 4 a_n = 0. n \leq 0; Indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:
 - a. a_n = 3 (-1)^n
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 1.png]]
+
 - b. a_n = 3 (-1/2)^n +1
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 2.png]]
+
 - c. a_n = 4 (-1)^n + (1/2)^n
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 3.png]]
+
 - d. a_n = -4 (1)^n + (1/2)^n
-
-En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que
-hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 4.png]]
 
 
-* 10 - Dada la relación de recurrencia an+2 − an = 0, indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:
+En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.
+
+
+* 10 - Dada la relación de recurrencia a_{n+2} − a_n = 0, indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:
 - a. a_n = 3(−1)^n
-- b. a_n = 3(−1/2)^n + 1
-- c. a_n = 7 + 2(−1)^n
-- d. a_n = 1/3 2^n
-- e. a_n = −8
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 5.png]]
 
-En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que
-hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.
+- b. a_n = 3(−1/2)^n + 1
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 6.png]]
+
+- c. a_n = 7 + 2(−1)^n
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 7.png]]
+
+- d. a_n = 1/3 2^n
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 8.png]]
+
+- e. a_n = −8
+[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 9.png]]
+
+En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.
 
 * 13 - Una inversión de $100 iniciales recibe un interés de 10% anual, capitalizado mensualmente. Plantear una relación de recurrencia para calcular el dinero acumulado al cabo de n meses.
+La ecuación de recurrencia necesaria para calcular la ganancia de dinero luego de n meses es:
+
+r = 0.1/12
+
+r = 0.00833
+
+a^n = {1+r} * a^{n-1}
+
+Hay que tener en cuenta que a^0 = 100
 
 * 18 - Hallar una relación de recurrencia para a_n, el número de formas de avanzar n metros dando pasos de 1 o 2 metros. Resolverla.
+La relación de recurrencia, en este caso, será:
+
+\begin{center}
+a^n = a^(n-1) + a^(n-2)
+\end{center}
+
+Se considerará que a^0 = 1, debido a que, como no hay mas metros que avanzar, la única opción para llegar a destino es no moverse También se considerará que a^1 = 1, debido a que la única opción para llegar a destino es avanzar 1 metro De acuerdo con lo anterior podemos resolver la secuencia planteada
+
+2. a^2 = a^(2-1) + a^(2-2) = 1 + 1 = 2
+3. a^3 = a^(3-1) + a^(3-2) = 2 + 1 = 3
+4. a^4 = a^(4-1) + a^(4-2) = 3 + 2 = 5
+5. a^5 = a^(5-1) + a^(5-2) = 5 + 3 = 8
+6. a^6 = a^(6-1) + a^(6-2) = 8 + 5 = 13
+
 
-* 24 - Resolver las siguientes relaciones de recurrencias no homogéneas
-- a. a_n - 3a_{n-1} = 5 7^n; a_0 = 2.
-- b. a_{n+1} = a_n + 2^n; a_0 = 0.
-- c. a_n = a_{n-1} + 3; a_0 = 1.
-- d. a_{n+1} + 2a_n + a_{n-1} = n; a_0 = 1, a_1 = -1.
 
 * 25 - Un préstamo de $2500 se debe pagar en cuotas fijas mensuales de $300, con un interés mensual de 8%. Si an es el dinero adeudado en el mes n, plantear una relación de recurrencia para an. ¿En cuántos meses se saldará la deuda?
+\begin{center}
+a(n) = a(n-1) * 1,08 - 300
+\end{center}
 
+En el mes 15 la deuda queda saldada