#+title: Trabajo Practico 2 - Matematicas Discretas
#+author: Martin Luraschi, Luca Troiano, Roy Herrera, Federico Polidoro
#+options: num:nil toc:nil
* 1. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación derecurrencia a_n = n a_{n-1}.
- a_1 = 1
- a_2 = 2 * a_1 = 2 * 1 = 2
- a_3 = 3 * a_2 = 3 * 2 = 6
- a_4 = 4 * a_3 = 4 * 6 = 24
- a_5 = 5 * a_4 = 5 * 24 = 120

* 2. - Dar los primeros seis términos de una sucesión de términos positivos que verifique la relación de recurrencia a_n = a_{n-1} / a_{n-2}.
 - a_1 = 1
 - a_2 = 2
 - a_3 = a_2 / a_1 = 2 / 1 = 2
 - a_4 = a_3 / a_2 = 2 / 2 = 2
 - a_5 = a_4 / a_3 = 1 / 2 = 1/2
 - a_6 = a_5 / a_4 = (1/2) / 1 = (1/2)

* 3. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = a_{n-1} + n^2.
1. a^1 = a^{1-1} + 1^2 = 1 + 1 = 2
2. a^2 = a^{2-1} + 2^2 = 2 + 4 = 6
3. a^3 = a^{3-1} + 3^2 = 6 + 9 = 15
4. a^4 = a^{4-1} + 4^2 = 15 + 16 = 31
5. a^5 = a^{5-1} + 5^2 = 31 + 25 = 56

* 4. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = r a_{n-1}.
1. a^1 = r * a^{1-1} = r*1 = r
2. a^2 = r * a^{2-1} = r*r = r^2
3. a^3 = r * a^{3-1} = r*r^2 = r^3
4. a^4 = r * a^{4-1} = r*r^3 = r^4
5. a^5 = r * a^{5-1} = r*r^4 = r^5

* 5. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_{n-2}.

1. a_1 = (1+1)a_{1-2} = 2 * a_{-1}
2. a_2 = (2+1)a_{2-2} = 3 * a_{0}
3. a_3 = (3+1)a_{3-2} = 4 * a_{1}
4. a_4 = (4+1)a_{4-2} = 5 * a_{2}
5. a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * a_{3}

Esto verifica que hay una relacion de recurrencia porque todas los posibles terminos a_n siempre van a incluir un a_{n-2} vease si extiendo el a_5

\begin{center}
a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * a_{3} = 6 * 4 * a_{1} = 6 * 4 * 2 * a_{-1} = ...
\end{center}

* 6. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_{n-2} tal que a_0 = 2.

0. a_0 = 1 * a_{-2} = 2
1. a_1 = (1+1)a_{1-2} = 2 * a_{-1}
2. a_2 = (2+1)a_{2-2} = 3 * 2 = 6
3. a_3 = (3+1)a_{3-2} = 4 * a_1
4. a_4 = (4+1)a_{4-2} = 5 * 6 = 30
5. a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * 4 * a_1

* 7. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = n a_{n-1} tal que a_3 = 18.

1. a_2 = 6
2. a_3 = 3 * a_{3-1} = 18
3. a_4 = 4 * a_{4-1} = 4 * 18 = 72
4. a_5 = 5 * a_{5-1} = 5 * 72 = 360
5. a_6 = 6 * a_{6-1} = 6 * 360 = 2160
6. a_7 = 7 * a_{7-1} = 7 * 2160 = 15120

* 8. - Resolver las relaciones de recurrencia
- a. a_n-2/3 a_{n-1} = 0, n \geq 1; a_0 = -1
  \begin{center}
a_{n} = \frac{2}{3} a_{n-1}

a_{1} = -\frac{2}{3}

a_{2} = \frac{2}{3} \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{9}

a_{3} = -\frac{8}{27}
  \end{center}

- b. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n \geq 0; a_0 = 1
  \begin{center}
a_{n+1} = \frac{3}{2} a_{n}

a_{n} = \frac{3}{2} a_{n-1}

a_{n} = \left( \frac{3}{2} \right)^n a_{0}

a_{n} = \left( \frac{3}{2} \right)^n
  \end{center}

- c. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n \geq 0; a_0 = -2
  \begin{center}
a_{n} = (-2) \left( \frac{3}{2} \right)^{n}

  \end{center}

- d. a_n+1 - 5a_n + 6a_{n-1} = 0 n \geq 1; a_0 = 0, a_1 = 2
  \begin{center}
r^2 - 5r + 6 = 0

(r - 2)(r - 3) = 0

a_n = A * 2^n + B * 3^n

a_0 = A * (2)^0 + B * (3)^0 = A + B = 0

A = -B

a_1 = A * (2)^1 + B * (3)^1 = A2 + B3 = 2

A2 + B3 = 2

(-B)2 + B3 = 2

B = 2

A = -B = -2

a_n = -2*2^n+2*3^n
  \end{center}

- e. a_n+1 = 4a_n - 5a_{n-1}, n \geq 1; a_0 = -1, a_1 = 3
  \begin{center}
Uh...
  \end{center}

- f. a_n = 4 a_{n-1} - 4a_{n-2}, n \geq 2; a_0 = 6, a_1 = 8
  \begin{center}
a_n = (6-2n) * 2^n
  \end{center}

- g. a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}, n \geq 2; a_0 = 1, a_1 = 2
  \begin{center}
a_n = 1 + n
  \end{center}


* 9. - Dada la relación de recurrencia 8 a_{n+2} + 4 a_{n+1} - 4 a_n = 0. n \leq 0; Indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:
- a. a_n = 3 (-1)^n
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 1.png]]

- b. a_n = 3 (-1/2)^n +1
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 2.png]]

- c. a_n = 4 (-1)^n + (1/2)^n
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 3.png]]

- d. a_n = -4 (1)^n + (1/2)^n
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 4.png]]


En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.


* 10 - Dada la relación de recurrencia a_{n+2} − a_n = 0, indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:
- a. a_n = 3(−1)^n
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 5.png]]

- b. a_n = 3(−1/2)^n + 1
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 6.png]]

- c. a_n = 7 + 2(−1)^n
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 7.png]]

- d. a_n = 1/3 2^n
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 8.png]]

- e. a_n = −8
[[./formula que estaba en formato chinhenhonshin hecha por roy 9.png]]

En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.

* 13 - Una inversión de $100 iniciales recibe un interés de 10% anual, capitalizado mensualmente. Plantear una relación de recurrencia para calcular el dinero acumulado al cabo de n meses.
La ecuación de recurrencia necesaria para calcular la ganancia de dinero luego de n meses es:

r = 0.1/12

r = 0.00833

a^n = {1+r} * a^{n-1}

Hay que tener en cuenta que a^0 = 100

* 18 - Hallar una relación de recurrencia para a_n, el número de formas de avanzar n metros dando pasos de 1 o 2 metros. Resolverla.
La relación de recurrencia, en este caso, será:

\begin{center}
a^n = a^(n-1) + a^(n-2)
\end{center}

Se considerará que a^0 = 1, debido a que, como no hay mas metros que avanzar, la única opción para llegar a destino es no moverse También se considerará que a^1 = 1, debido a que la única opción para llegar a destino es avanzar 1 metro De acuerdo con lo anterior podemos resolver la secuencia planteada

2. a^2 = a^(2-1) + a^(2-2) = 1 + 1 = 2
3. a^3 = a^(3-1) + a^(3-2) = 2 + 1 = 3
4. a^4 = a^(4-1) + a^(4-2) = 3 + 2 = 5
5. a^5 = a^(5-1) + a^(5-2) = 5 + 3 = 8
6. a^6 = a^(6-1) + a^(6-2) = 8 + 5 = 13



* 25 - Un préstamo de $2500 se debe pagar en cuotas fijas mensuales de $300, con un interés mensual de 8%. Si an es el dinero adeudado en el mes n, plantear una relación de recurrencia para an. ¿En cuántos meses se saldará la deuda?
\begin{center}
a(n) = a(n-1) * 1,08 - 300
\end{center}

En el mes 15 la deuda queda saldada