#+title: Trabajo Practico 2 - Matematicas Discretas #+author: Martin Luraschi, Luca Troiano, Roy Herrera, Federico Polidoro #+options: num:nil toc:nil * 1. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación derecurrencia a_n = n a_{n-1}. * 2. - Dar los primeros seis términos de una sucesión de términos positivos que verifique la relación de recurrencia a_n = a_{n-1} / a_{n-2}. * 3. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = a_{n-1} + n^2. * 4. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = r a_{n-1}. * 5. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_{n-2}. * 6. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_{n-2} tal que a_0 = 2. * 7. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = n a_{n-1} tal que a_3 = 18. * 8. - Resolver las relaciones de recurrencia - a. a_n-2/3 a_{n-1} = 0, n \geq 1; a_0 = -1 - b. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n \geq 0; a_0 = 1 - c. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n \geq 0; a_0 = -2 - d. a_n+1 - 5a_n + 6a_{n-1} = 0 n \geq 1; a_0 = 0, a_1 = 2 - e. a_n+1 = 4a_n - 5a_{n-1}, n \geq 1; a_0 = -1, a_1 = 3 - f. a_n = 4 a_{n-1} - 4a_{n-2}, n \geq 2; a_0 = 6, a_1 = 8 - g. a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}, n \geq 2; a_0 = 1, a_1 = 2 * 9. - Dada la relación de recurrencia 8 a_{n+2} + 4 a_{n+1} - 4 a_n = 0. n \leq 0; Indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución: - a. a_n = 3 (-1)^n - b. a_n = 3 (-1/2)^n +1 - c. a_n = 4 (-1)^n + (1/2)^n - d. a_n = -4 (1)^n + (1/2)^n En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar. * 10 - Dada la relación de recurrencia an+2 − an = 0, indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución: - a. a_n = 3(−1)^n - b. a_n = 3(−1/2)^n + 1 - c. a_n = 7 + 2(−1)^n - d. a_n = 1/3 2^n - e. a_n = −8 En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar. * 11 - El número de usuarios en un sitio web es de 1000 en un momento dado. Se sabe que el número de usuarios aumentará 25% cada día. Plantear una relación de recurrencia para determinar el número de usuarios en el día n. * 12 - Una empresa de catering para eventos comienza sus actividades en enero de 2017. Durante el primer mes sus ingresos fueron 11000 pesos. Un estudio de mercado predice que los ingresos crecerán 23% cada mes. Plantear una relación de recurrencia y las condiciones iniciales necesarias para determinar los ingresos en el mes n. Dar la solución de la recurrencia obtenida. * 13 - Una inversión de $100 iniciales recibe un interés de 10% anual, capitalizado mensualmente. Plantear una relación de recurrencia para calcular el dinero acumulado al cabo de n meses. * 14 - Se sabe que la propagación de un virus informático en una red responde a la relación de recurrencia a_n = 4/3 a_{n-1} – 1/3 a_{n-2}, donde an es la proporción de equipos infectados por el virus en la semana n. A la semana siguiente de haber lanzado el virus, se detectan 1/3 de los equipos infectados. Hallar la solución para an. ¿Cuál es la proporción de equipos infectados en la semana 3? ¿La proporción de infectados puede superar el 90%? * 15 - Sea pn la probabilidad de que se detecte al menos un caso de sarampión en la semana n-ésima de clases, luego de que se detecte el primer caso en la semana 1. Los registros históricos indican que p_n = p_{n-1} - 0.25 p_{n-2}. Identificar las condiciones iniciales. ¿Cuál es la probabilidad de contagio en la semana 5ta? Resolver la relación de recurrencia. * 16 - Cierto canal de comunicación transmite mensajes que consisten en una sucesión dos tipos de señales, una que dura un microsegundo y otra que dura dos microsegundos. Determinar una relación de recurrencia para contar la cantidad de mensajes distintos de n microsegundos de duración, que se pueden transmitir. ¿Cuáles son las condiciones iniciales? ¿Cuántos mensajes se pueden transmitir en exactamente 10 microsegundos? * 17 - Cierto canal de comunicación transmite mensajes que consisten en una sucesión dos tipos de señales, una que dura dos microsegundo y otra que dura tres microsegundos. Determinar una relación de recurrencia para contar la cantidad de mensajes distintos de n microsegundos de duración, que se pueden transmitir. ¿De qué orden es la recurrencia? ¿Cuáles son las condiciones iniciales? ¿Cuántos mensajes se pueden transmitir en exactamente 10 microsegundos? * 18 - Hallar una relación de recurrencia para a_n, el número de formas de avanzar n metros dando pasos de 1 o 2 metros. Resolverla. * 19 - Una expresión aritmética válida (sin paréntesis) está formada por dígitos de 0 a 9 y los símbolos de operaciones +, *, /, donde el primer y último caracter deben ser dígitos y no es posible que dos símbolos de operaciones estén juntos. Hallar una relación de recurrencia para contar el número de expresiones aritméticas válidas formada por n símbolos. Resolverla. * 20 - Hallar una relación de recurrencia para contar el número de sucesiones binarias de longitud n que no tienen ceros consecutivos. * 21 - Determinar una relación de recurrencia para el número de sucesiones de 0, 1 y 2 con un número par de ceros. * 22 - El tamaño (en cantidad de individuos) de cierta población en cada año responde a una relación de recurrencia homogénea lineal con coeficientes constantes de orden ** 1. Si se sabe que en 2015 dicha población tiene 1500 individuos, y que en 2016 su tamaño es 1650, hallar la cantidad de individuos en los años de 2010 a 2020. * 23 - El tamaño (en cantidad de individuos) de cierta población en cada año responde a una relación de recurrencia homogénea lineal con coeficientes constantes de orden ** 2. Se sabe que la población tenía en 2014, 1500 individuos, en 2015, 1650 individuos, en 2016 1800 individuos y en 2017, 1965. Encontrar la recurrencia que la modela, y hallar la cantidad de individuos en los años de 2010 a 2020. * 24 - Resolver las siguientes relaciones de recurrencias no homogéneas - a. a_n - 3a_{n-1} = 5 7^n; a_0 = 2. - b. a_{n+1} = a_n + 2^n; a_0 = 0. - c. a_n = a_{n-1} + 3; a_0 = 1. - d. a_{n+1} + 2a_n + a_{n-1} = n; a_0 = 1, a_1 = -1. * 25 - Un préstamo de $2500 se debe pagar en cuotas fijas mensuales de $300, con un interés mensual de 8%. Si an es el dinero adeudado en el mes n, plantear una relación de recurrencia para an. ¿En cuántos meses se saldará la deuda? * 26 - Una empresa comienza sus actividades en enero de 2014. Inicialmente sus activos son 150000 pesos. Se estima que cada mes los activos crecerán un 9% respecto de los activos del mes anterior, más un crecimiento fijo mensual de 15000 pesos. Plantear una relación de recurrencia y las condiciones iniciales necesarias para determinar los activos en el mes n. Dar la solución de la recurrencia obtenida. ¿A cuánto ascienden los activos en julio de 2014? ¿En algún momento la empresa llegará a duplicar los activos iniciales? En caso afirmativo, calcular el momento en que eso ocurrirá. * 27 - Un virus informático es creado y lanzado el 1 de marzo de 2016, infectando ese día a una computadora. Se calcula que cada día, cada computadora infectada contagia a otras tres. Además, el creador del virus, cada día copia el virus en una nueva computadora no infectada aun. Plantear una relación de recurrencia y las condiciones iniciales necesarias para determinar el número de computadoras infectadas el día n. ¿Cuantos equipos infectados hay al quinto día? * 28 - Un virus informático es creado y lanzado el 1 de marzo de 2016, infectando ese día a 100 computadoras. Se calcula que cada día, cada computadora infectada contagia a otras tres. Inmediatamente, un sistema antivirus lo detecta y desinfecta 150 computadoras por día. Plantear una relación de recurrencia y las condiciones iniciales necesarias para determinar el número de computadoras infectadas el día n. * 29 - Un virus informático es creado y lanzado el 1 de marzo de 2016, infectando ese día a 100 computadoras. Se calcula que cada día, cada computadora infectada contagia a otras tres. Inmediatamente, un sistema antivirus lo detecta y desinfecta V computadoras por día. ¿Cuánto debe valer V para que finalmente se extinga el virus?