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Trabajo Practico 2 - Matematicas Discretas

1. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación derecurrencia a_n = n a_n-1.

• a_1 = 1
• a_2 = 2 * a_1 = 2 * 1 = 2
• a_3 = 3 * a_2 = 3 * 2 = 6
• a_4 = 4 * a_3 = 4 * 6 = 24
• a_5 = 5 * a_4 = 5 * 24 = 120

2. - Dar los primeros seis términos de una sucesión de términos positivos que verifique la relación de recurrencia a_n = a_n-1 / a_n-2.

• a_1 = 1
• a_2 = 2
• a_3 = a_2 / a_1 = 2 / 1 = 2
• a_4 = a_3 / a_2 = 2 / 2 = 2
• a_5 = a_4 / a_3 = 1 / 2 = 1/2
• a_6 = a_5 / a_4 = (1/2) / 1 = (1/2)

3. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = a_n-1 + n^2.

1. a^1 = a^1-1 + 1^2 = 1 + 1 = 2
2. a^2 = a^2-1 + 2^2 = 2 + 4 = 6
3. a^3 = a^3-1 + 3^2 = 6 + 9 = 15
4. a^4 = a^4-1 + 4^2 = 15 + 16 = 31
5. a^5 = a^5-1 + 5^2 = 31 + 25 = 56

4. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = r a_n-1.

1. a^1 = r * a^1-1 = r*1 = r
2. a^2 = r * a^2-1 = r*r = r^2
3. a^3 = r * a^3-1 = r*r^2 = r^3
4. a^4 = r * a^4-1 = r*r^3 = r^4
5. a^5 = r * a^5-1 = r*r^4 = r^5

5. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_n-2.

1. a_1 = (1+1)a_1-2 = 2 * a_-1
2. a_2 = (2+1)a_2-2 = 3 * a₀
3. a_3 = (3+1)a_3-2 = 4 * a₁
4. a_4 = (4+1)a_4-2 = 5 * a₂
5. a_5 = (5+1)a_5-2 = 6 * a₃

Esto verifica que hay una relacion de recurrencia porque todas los posibles terminos a_n siempre van a incluir un a_n-2 vease si extiendo el a_5

\begin{center} a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * a_{3} = 6 * 4 * a_{1} = 6 * 4 * 2 * a_{-1} = ... \end{center}

6. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_n-2 tal que a_0 = 2.

1. a_0 = 1 * a_-2 = 2
2. a_1 = (1+1)a_1-2 = 2 * a_-1
3. a_2 = (2+1)a_2-2 = 3 * 2 = 6
4. a_3 = (3+1)a_3-2 = 4 * a_1
5. a_4 = (4+1)a_4-2 = 5 * 6 = 30
6. a_5 = (5+1)a_5-2 = 6 * 4 * a_1

7. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = n a_n-1 tal que a_3 = 18.

1. a_2 = 6
2. a_3 = 3 * a_3-1 = 18
3. a_4 = 4 * a_4-1 = 4 * 18 = 72
4. a_5 = 5 * a_5-1 = 5 * 72 = 360
5. a_6 = 6 * a_6-1 = 6 * 360 = 2160
6. a_7 = 7 * a_7-1 = 7 * 2160 = 15120

8. - Resolver las relaciones de recurrencia

• 1. a_n-2/3 a_n-1 = 0, n ≥ 1; a_0 = -1
  \begin{center} a_{n} = \frac{2}{3} a_{n-1} a_{1} = -\frac{2}{3} a_{2} = \frac{2}{3} \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{9} a_{3} = -\frac{8}{27} \end{center}
• 1. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n ≥ 0; a_0 = 1
  \begin{center} a_{n+1} = \frac{3}{2} a_{n} a_{n} = \frac{3}{2} a_{n-1} a_{n} = \left( \frac{3}{2} \right)^n a_{0} a_{n} = \left( \frac{3}{2} \right)^n \end{center}
• 1. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n ≥ 0; a_0 = -2
  \begin{center} a_{n} = (-2) \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \end{center}
• 1. a_n+1 - 5a_n + 6a_n-1 = 0 n ≥ 1; a_0 = 0, a_1 = 2
  \begin{center} r^2 - 5r + 6 = 0 (r - 2)(r - 3) = 0 a_n = A * 2^n + B * 3^n a_0 = A * (2)^0 + B * (3)^0 = A + B = 0 A = -B a_1 = A * (2)^1 + B * (3)^1 = A2 + B3 = 2 A2 + B3 = 2 (-B)2 + B3 = 2 B = 2 A = -B = -2 a_n = -2*2^n+2*3^n \end{center}
• 1. a_n+1 = 4a_n - 5a_n-1, n ≥ 1; a_0 = -1, a_1 = 3
  \begin{center} Uh... \end{center}
• 1. a_n = 4 a_n-1 - 4a_n-2, n ≥ 2; a_0 = 6, a_1 = 8
  \begin{center} a_n = (6-2n) * 2^n \end{center}
• 1. a_n = 2a_n-1 - a_n-2, n ≥ 2; a_0 = 1, a_1 = 2
  \begin{center} a_n = 1 + n \end{center}

9. - Dada la relación de recurrencia 8 a_n+2 + 4 a_n+1 - 4 a_n = 0. n ≤ 0; Indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:

• 1. a_n = 3 (-1)^n

• 1. a_n = 3 (-1/2)^n +1

• 1. a_n = 4 (-1)^n + (1/2)^n

• 1. a_n = -4 (1)^n + (1/2)^n

En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.

10 - Dada la relación de recurrencia a_n+2 − a_n = 0, indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:

• 1. a_n = 3(−1)^n

• 1. a_n = 3(−1/2)^n + 1

• 1. a_n = 7 + 2(−1)^n

• 1. a_n = 1/3 2^n

• 1. a_n = −8

En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.

13 - Una inversión de $100 iniciales recibe un interés de 10% anual, capitalizado mensualmente. Plantear una relación de recurrencia para calcular el dinero acumulado al cabo de n meses.

La ecuación de recurrencia necesaria para calcular la ganancia de dinero luego de n meses es:

r = 0.1/12

r = 0.00833

a^n = {1+r} * a^n-1

Hay que tener en cuenta que a^0 = 100

18 - Hallar una relación de recurrencia para a_n, el número de formas de avanzar n metros dando pasos de 1 o 2 metros. Resolverla.

La relación de recurrencia, en este caso, será:

\begin{center} a^n = a^(n-1) + a^(n-2) \end{center}

Se considerará que a^0 = 1, debido a que, como no hay mas metros que avanzar, la única opción para llegar a destino es no moverse También se considerará que a^1 = 1, debido a que la única opción para llegar a destino es avanzar 1 metro De acuerdo con lo anterior podemos resolver la secuencia planteada

1. a^2 = a^(2-1) + a^(2-2) = 1 + 1 = 2
2. a^3 = a^(3-1) + a^(3-2) = 2 + 1 = 3
3. a^4 = a^(4-1) + a^(4-2) = 3 + 2 = 5
4. a^5 = a^(5-1) + a^(5-2) = 5 + 3 = 8
5. a^6 = a^(6-1) + a^(6-2) = 8 + 5 = 13

25 - Un préstamo de $2500 se debe pagar en cuotas fijas mensuales de $300, con un interés mensual de 8%. Si an es el dinero adeudado en el mes n, plantear una relación de recurrencia para an. ¿En cuántos meses se saldará la deuda?

\begin{center} a(n) = a(n-1) * 1,08 - 300 \end{center}

En el mes 15 la deuda queda saldada