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Trabajo Practico 2 - Matematicas Discretas

1. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación derecurrencia a_n = n a_n-1.

2. - Dar los primeros seis términos de una sucesión de términos positivos que verifique la relación de recurrencia a_n = a_n-1 / a_n-2.

3. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = a_n-1 + n^2.

4. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = r a_n-1.

5. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_n-2.

1. a_1 = (1+1)a_1-2 = 2 * a_-1
2. a_2 = (2+1)a_2-2 = 3 * a₀
3. a_3 = (3+1)a_3-2 = 4 * a₁
4. a_4 = (4+1)a_4-2 = 5 * a₂
5. a_5 = (5+1)a_5-2 = 6 * a₃

Esto verifica que hay una relacion de recurrencia porque todas los posibles terminos a_n siempre van a incluir un a_n-2 vease si extiendo el a_5

\begin{center} a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * a_{3} = 6 * 4 * a_{1} = 6 * 4 * 2 * a_{-1} = ... \end{center}

6. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_n-2 tal que a_0 = 2.

7. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = n a_n-1 tal que a_3 = 18.

8. - Resolver las relaciones de recurrencia

• 1. a_n-2/3 a_n-1 = 0, n ≥ 1; a_0 = -1
• 1. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n ≥ 0; a_0 = 1
• 1. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n ≥ 0; a_0 = -2
• 1. a_n+1 - 5a_n + 6a_n-1 = 0 n ≥ 1; a_0 = 0, a_1 = 2
• 1. a_n+1 = 4a_n - 5a_n-1, n ≥ 1; a_0 = -1, a_1 = 3
• 1. a_n = 4 a_n-1 - 4a_n-2, n ≥ 2; a_0 = 6, a_1 = 8
• 1. a_n = 2a_n-1 - a_n-2, n ≥ 2; a_0 = 1, a_1 = 2

9. - Dada la relación de recurrencia 8 a_n+2 + 4 a_n+1 - 4 a_n = 0. n ≤ 0; Indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:

• 1. a_n = 3 (-1)^n
• 1. a_n = 3 (-1/2)^n +1
• 1. a_n = 4 (-1)^n + (1/2)^n
• 1. a_n = -4 (1)^n + (1/2)^n

En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.

10 - Dada la relación de recurrencia an+2 − an = 0, indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:

• 1. a_n = 3(−1)^n
• 1. a_n = 3(−1/2)^n + 1
• 1. a_n = 7 + 2(−1)^n
• 1. a_n = 1/3 2^n
• 1. a_n = −8

En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.

13 - Una inversión de $100 iniciales recibe un interés de 10% anual, capitalizado mensualmente. Plantear una relación de recurrencia para calcular el dinero acumulado al cabo de n meses.

18 - Hallar una relación de recurrencia para a_n, el número de formas de avanzar n metros dando pasos de 1 o 2 metros. Resolverla.

24 - Resolver las siguientes relaciones de recurrencias no homogéneas

• 1. a_n - 3a_n-1 = 5 7^n; a_0 = 2.
• 1. a_n+1 = a_n + 2^n; a_0 = 0.
• 1. a_n = a_n-1 + 3; a_0 = 1.
• 1. a_n+1 + 2a_n + a_n-1 = n; a_0 = 1, a_1 = -1.

25 - Un préstamo de $2500 se debe pagar en cuotas fijas mensuales de $300, con un interés mensual de 8%. Si an es el dinero adeudado en el mes n, plantear una relación de recurrencia para an. ¿En cuántos meses se saldará la deuda?