#+title: resumen.parcial
#+author: fede

* Clase 1 - Modelizacion de sistemas
Esta estudia conjuntos de elementos interrelacionados que trabajan para un objetivo común. Los sistemas tienen caracteristicas como totalidad (funcionan como un todo), equilibrio, objetivo definido y entropia.

Existen dos tipos principales:
- Sistemas Abiertos: \\
  ~Intercambian materia energiao informacion con el entorno (ej, empresas, ecosistemas, ciudades).~

- Sistemas Cerrados: \\
  ~Estan aislados o tienen intercambios minimos con el exterior (ej, termo hermetico. experimento sellado).~

  Para poder modelizar un sistma abierto es necesario "cerrarlo", definiendo limites y simplificando variables externas. Esto Permite analizarlo matematicamente.

  1. identificar limites.
  2. Fijar Fronteras
  3. Definir que esta dentro.
  4. Ignorar lo externo

** Caracteristicas de los sistemas
*** Totalidad
El sistema funciona como un todo integrado. el comportamiento del sistema completo no puede entenderse simplemento sumando las partes individuales.

*** Equilibrio
Los sistemas tienden a adaptarse y mantener un estado estable mediante mecanismos de retroalimentacion.

*** Objetividad
Todo sistema tiene un proposito o funcion definida.
* Clase 2 - Modelos
** Modelos
Es una representacion simbolica y simplificada de un sistema.

- Simbolica: usa simbolos para representar la realidad.
- Simplificada: elimina los detalles innecesarios para facilitar el analisis.

** Clasificacion de modelos
*** Modelos Concretos
Son tangibles.

Segun la forma:

- Iconicos: pierden dimensiones (mapas, fotos, planos).
- No Iconicos: conservan dimensiones (maquetas, globos terráqueos).

Segun comportamiento:

- Analogicos: represetnan la dinamica o comportamiento (termometro, relog de arena).
- No analogicos: representan la forma, no la dinamica.

*** Modelos Abstractos
Son intangibles.

Segun la forma:

- Coloquiales: descripciones o manuales.
- Matematios: formulas o programas.

Segun comportamiento:

- Analiticos: formulas matematicas.
- Numericos: simulaciones o software.

Además existen estas clasificaciones:

- Estaticos: No dependen del tiempo.
- Dinamicos: dependen del tiempo.
- Deterministicos: Sin Azar.
- Estocasticos: usan probabilidades.

** Teoria de la informacion
La informacion es una reduccion de incertidumbre de un receptor. Depende de cuanto se esperaba un dato:

- Evento Improbable → mucha informacion
- Evento seguro → poca o nula informacion.

$I_r (s) = log_r (\frac{1}{P(s)})$

Es un modelo abstracto, matemático, analítico, estático y estocástico.

** Pasos para Desarrollar un Modelo
- Conocer el sistema.
- Fijar límites y cerrar el sistema.
- Reducir variables importantes.
- Desarrollar el modelo.
- Probarlo:
  - si funciona → se acepta,
  - si falla parcialmente → se corrige,
  - si falla mucho → se rehace.
- Documentarlo.

* Clase 3 - Simuladores
Un simulador es la reproduccion del comportamiento dinamico de un sistema usando un modelo. Es un modelo numerico procesado por computadora y representado como software.

** Caracteristicas
- Permiten experimentar y modificar sistemas facilmente.
- Buscan soluciones particulares.
- Son utiles cuando el sistema es muy complejo para resolverse con formulas analiticas.

** Tecnica de montecarlo
Metodo de simulacion que usa numeros aleatorio o pseudoaleatorios como datos de entrada.

*** Idea Principal
Generar muchos escenarios aleatorios para aproximar resultados reales.

*** Cuándo usarlo
- Sistemas con incertidumbre.
- Riesgo financiero.
- Colas y esperas.
- Meteorología.
*** Cuándo NO usarlo
- Problemas simples y determinísticos.
- Casos donde se necesita exactitud total.
*** Ventajas
- Flexible.
- Maneja sistemas complejos.
- Permite visualizar incertidumbre.
*** Desventajas
- No da resultados exactos.
- Cada simulación puede variar.
- Alto costo computacional.

** Números Aleatorios y Pseudoaleatorios
*** Aleatorios
- Generados por fenómenos físicos.
- Verdaderamente impredecibles.
- No reproducibles.

*** Pseudoaleatorios
- Generados por algoritmos y semillas.
- Tienen período finito.
- Reproducibles usando la misma semilla.

*** Ventajas de pseudoaleatorios
- Permiten debugging.
- Comparación justa de modelos.
- Son rápidos y prácticos para simulación.

** Lenguajes de Simulación
*** Propósito General

Lenguajes comunes como Python, C++, Java o R.

- Más flexibles y baratos.
- Desarrollo más largo.

*** Propósito Específico
Diseñados para simulación, como GPSS, Simula o Arena.

- Desarrollo más rápido.
- Herramientas integradas.
- Más costosos y especializados.

*** Tipos de simulación
- Discreta: cambios por eventos.
- Continua: cambios continuos mediante ecuaciones diferenciales.
- Mixta: combina ambas.

* Clase 5 - Teoria de colas parte 1
** ¿Que es la teoria de colas?
Esta consiste en un estudio matematico de los sistemas de espera para optimizar recursos y reducir tiempos de demora.

** Origen
Fue desarrollado en 1909 al analizar la congestion de llamas telefonicas en copenhague.

** Elementos
Tiene 3 elementos basicos
- Clientes: Quienes solicitan el servicio.
- Area de espera: Lugar fisico o cirtual donde esperan.
- Servidores: quienes brindan el servicio.

** Notacion de Kendall
Describe sistemas de colas de forma compacta:

*** Formato
`A / B /C `
donde:
- A, distribucion de llegadas.
- B, distribucion de servicio.
- c, cantidad de servidores.

*** Tipos de principales
- M, markoviana (Poisson/exponencial).
- D, Deterministica.
- G, General.

*** Ejemplos
- M/M/1, llegadas Poisson, servicio exponencial y 1 servidor.
- M/M/c, varios servidores.
- M/D/1, servicio constante.
- D/D/1, llegadas y servicios contantes.

*** Disciplinas de servicio
- FIFO, primero en llegar, primero en salir.
- LIFO, ultimo en llegar, primero en salir.
- Prioridad, atencion según importancia.

** Sistemas M/M/1
Es el modelo más basicos para modelar.

*** Caracteristicas
- Llegadas Poisson.
- Servicio exponencial.
- Un solo servidor.
- Cola FIFO.
- Entradas y salidas independientes.

*** Parametros Importantes
- Tasa de arrivos
  $\lambda$
  Consiste en la cantidad promedio de clientes que llegan por unidad de tiempo.

- Tasa de servicio
  $\mu$
  Es la cantidad promedio de clientes que el servidor atiende cada una unidad de tiempo

- Tiempo medio de servicio

  $T_s = \frac{1}{\mu}$

*** Factor de utilizacion
$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$

indica que tan ocupado esta el servidor.

- $\rho < 0.5$ sistema subutilizado.
- $0.5 \leq \rho < 0.8$ funcionamiento optimo.
- $\rho$ cercano a 1: colas largas.
- $\rho \geq 1$: congestion.

Si llegan más clientes que lo que la cola puede atender, la cola crece indefinidamente.

*** Probabilidad de Estado
Es la probablidad de tener exactamente n clientes en el sistema

$pi_n = \rho^n (1 - \rho)$

teniendo en cuenta que:
- \pi_0 = sistema vacio.
- \pi_1 = un cliente.
- \pi_2 = dos clientes.
*** Numero medio de clientes
Cantidad promedio de clientes en el sistema:

$N = \frac{\rho}{1 - \rho}$

Cuando \rho se acerca a 1, el numero de clientes crece muchísimo.

*** Equilibrio y Congestión

Un *Sistema Estable* Ocurre cuando:

$\lambda < \mu$

#+begin_quote
El sistema puede atender a los clientes sin que la cola crezca infinitamente.
#+end_quote

Mientras tanto un *Sistema Congestionado*:

$\rho \geq 1$

#+begin_quote
la cola tiende a infinito.
#+end_quote

** Ecuacion de estado estable
Relaciona probab lidades entre estados consecutivos.

$\rho * \pi_{n-1} = \pi_n$

** Teorema de Little
relaciona la cantidad promedio de cleintes, junto con la tasa de llegada y el tiempo promedio del sistema $N = \lambda W$.

Donde:
- N: clientes promedio en el sistema.
- \lambda : tasa de llegadas.
- W: tiempo promedio de permanencia.

*** Variantes
- $Q = \lambda Wq$. clientes en cola.
- $N_s = \lambda Ts$. clientes siendo atendidos.

* Clase 6 - Teoria de colas parte 2
** M/M/1/N
Son modelos de colas en los cuales:
- Llegadas aleatorias tipo Poisson.
- Tiempos de servicio exponenciales.
- Un unico servidor.
- Capacidad maxima finita de N clientes.

A diferencia del modelo M/M/1 un M/M/1/N los clientes pueden ser rechazados cuando el sistema esta lleno.

** Caracteristicas Principales
Componentes del modelo:
- M: llegadas de poisson.
- M: Servicio exponencial.
- 1: un servidor.
- N: capacidad maxima del sistema.

Funcionamiento:
- Si el sistema tiene menos de N clientes, el nuevo cliente entra.
- Si el sistema está lleno (n = N), el cliente es rechazado.

Propiedades:
- llegadas de Poisson.
- Servicio Exponencial.
- Un unico servidor.
- Disciplina FIFO.
- Independencia entre entradas y salidas.
- Capacidad Limitada.

*** Aplicaciones
El modelo M/M/1/N se utiliza en sistemas con capacidad fisica limitada.

Ejemplos:
- Sala de espera medicas.
- Routers.
- Centrales telefonicas.
- Estacionemientos.
- Ascensores.
- Plataformas de streaming.

En todos los casos existe un limite de capacidad y posibilidad de bloqueo.

** Probabilidad de Bloqueo
La probablidad de bloqueo (P_B) representa la probabilidad de que u cliente llegue y encuentre el sistma lleno.

$P_B = \pi_N = \frac{\rho^N (1 - \rho)}{1 - \rho^{N + 1}}$

Donde:
- $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$.
- \lambda Tasa de llegada.
- \mu tasa de servicio.
- N, capacidad maxima.

Un P_B bajo significa que no hay muchos clientes rechazados mientras que uno alto es que se rechazan muchos clientes.

** Tasa de rechazo
Indica cuantos cliente son rechazados por unidad de tiempo.

$\tau = \lambda * P_B$

** Rendimiento del Sistema
Es la tasa efectiva de clientes atendidos.

Rendimiento de entrada:
$\gamma = \lambda (1 - P_B)$

Rendimiento de salida:
$\gamma = \mu (1 - \pi_0)$
** Deduccion de la formula de Probablidad
En un Modelo M/M/1/N solo existen los estados:
#+begin_center
$n = 0,1,2,...,N$
#+end_center

Por esto la distribucion de probabilidad debe corregirse para que la suma total sea 1.
** Comparación con M/M/1
| Caracteristicas        | M/M/1             | M/M/1/n          |
|------------------------+-------------------+------------------|
| Capacidad              | Infinita          | Finita           |
| Rechazo                | No                | Si               |
| Probablidad de bloqueo | 0                 | x>0              |
| Estados                | Infinitos         | 0 a N            |
| Rendimiento            | \gamma = \lambda  | \gamma < \lambda |
| Estabilidad            | Requoiere \rho <1 | Siempre estable  |

** Ventajas del Modelo M/M/1/N
- Representa sistemas reales con límites físicos.
- Permite calcular pérdidas por rechazo.
- Ayuda al dimensionamiento de capacidad.
- Evita crecimiento infinito de colas.

** Desventajas
- Puede generar pérdida de clientes.
- Afecta la reputación del servicio.
- Requiere cálculos más complejos.
- Definir capacidad adecuada puede ser difícil.

* Clase 7 - Teoria de colas parte 3
Introduccion a los sistemas dependientes de estado, Estos son modelos de colas donde las tasas de llegadaa y servicio no son constantes, sino que cambian segun la cantidad de clientes presentes en el sistema.


En estos sistemas \lambda_n representa la tasaq de arrivos cuando hay n clientes. y \mu_n representa la tasa de servicio cuando hay n clientes.

** Concepto de Dependencia
En estos modelos, las condiciones del sistema responde dinamicamente al estado actual.

por ejemplo:
En una autopista, el transito es fluido y rapido. Con muchos vehiculos aparece congestion y dismunuye la velocidad. Cuando la autopista esta saturada, algunos conductores buscan rutal alternas.

De Forma similar en un sistemas de colas las tasas de llegada y servicio pueden variar según la cantidad de clientes presentes.

** Analogia con sistemas de nacimiento y muerte
Los sistemas dependientes de estado tambien se conocen como sistemas de nacimiento y muerte debido a su similitud con modelos poblacionales.

*** Nacimientos
En la poblacion es Nacimientos y en las colas es \lambda_n.

*** Muertes
representan las salidas del sistema:
- En poblacion, Muertes.
- En colas, servicios completados \mu_n.

** Deduccion de probabilidades de estado
*** Principio de Balance
El analisis se basa en el principio de balance de flujo, en estado estable, la tasa de entradas a yun estado debe ser igual a la tasa de salidas de ese estado.

*** Desarrollo de formula
Estado 0, el equilibrio entre entradas y salidas.

$\mu_1 \pi_1 = \lambda_0 \pi_0$

Despejado

$\mu_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0$



* Clase 8 - M/G/1 y M/D/1
** M/G/1
- Llegadas Poisson.
- Tiempo de servicio General
- 1 Solo servidor

  Surge porque el modelo M/M/1 asume tiempos exponenciales, algo que no es realista en muchos sistemas.

*** Condicion de estabilidad
$\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$

\rho representa el porcentaje de tiempo que el servidor esta ocupado.


*** Formula
Permite calcular clientes esperados y tiempo esperado en el sistema

$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho}) [1 - \frac{\rho}{2} (1 - \mu^2 o^2)]$

*** Interpretacion \mu^2 o^2
Equivale a CV^2 (coeficiente de variacion al cuadrado).

Donde si:
- CV^2 = 1, comportamiento M/M/1.
- CV^2 = 0, servicio deterministico M/D/1.
- CV^2 > 1, mucha variabilidad, peores colas.

** M/D/1
- Llegadas Poisson.
- Tiempo de servicio deterministico.
- 1 servidor.

es el sistema más eficiente para un solo servidor.


$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho})(1 - \frac{\rho}{2})$

** Sistemas sin interrupcion
Es un sistema que termina un gtrabajo antes de empezar uno con prioridad más alta.

$W_1 = W_0 + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$

$Wq_1 = W_0 + \frac{Q_1}{\mu_1}$

** Sistemas con interrupcion
Si llega alguien de prioridad alta se interrumpe inmediatamente el trabajo actual y el nuevo cliente toma el servidor.

$W_1 = W_{01} + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$


** Inanicion
Clientes/procesos de baja prioridad nunca reciben atención porque siempre llegan otros más prioritarios.

El sistema sigue funcionando pero abandona gente en la cola eternamente. Literal skill issue del scheduler.
