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@@ -155,3 +155,320 @@ Diseñados para simulación, como GPSS, Simula o Arena.
 - Discreta: cambios por eventos.
 - Continua: cambios continuos mediante ecuaciones diferenciales.
 - Mixta: combina ambas.
+
+* Clase 5 - Teoria de colas parte 1
+** ¿Que es la teoria de colas?
+Esta consiste en un estudio matematico de los sistemas de espera para optimizar recursos y reducir tiempos de demora.
+
+** Origen
+Fue desarrollado en 1909 al analizar la congestion de llamas telefonicas en copenhague.
+
+** Elementos
+Tiene 3 elementos basicos
+- Clientes: Quienes solicitan el servicio.
+- Area de espera: Lugar fisico o cirtual donde esperan.
+- Servidores: quienes brindan el servicio.
+
+** Notacion de Kendall
+Describe sistemas de colas de forma compacta:
+
+*** Formato
+`A / B /C `
+donde:
+- A, distribucion de llegadas.
+- B, distribucion de servicio.
+- c, cantidad de servidores.
+
+*** Tipos de principales
+- M, markoviana (Poisson/exponencial).
+- D, Deterministica.
+- G, General.
+
+*** Ejemplos
+- M/M/1, llegadas Poisson, servicio exponencial y 1 servidor.
+- M/M/c, varios servidores.
+- M/D/1, servicio constante.
+- D/D/1, llegadas y servicios contantes.
+
+*** Disciplinas de servicio
+- FIFO, primero en llegar, primero en salir.
+- LIFO, ultimo en llegar, primero en salir.
+- Prioridad, atencion según importancia.
+
+** Sistemas M/M/1
+Es el modelo más basicos para modelar.
+
+*** Caracteristicas
+- Llegadas Poisson.
+- Servicio exponencial.
+- Un solo servidor.
+- Cola FIFO.
+- Entradas y salidas independientes.
+
+*** Parametros Importantes
+- Tasa de arrivos
+  $\lambda$
+  Consiste en la cantidad promedio de clientes que llegan por unidad de tiempo.
+
+- Tasa de servicio
+  $\mu$
+  Es la cantidad promedio de clientes que el servidor atiende cada una unidad de tiempo
+
+- Tiempo medio de servicio
+
+  $T_s = \frac{1}{\mu}$
+
+*** Factor de utilizacion
+$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$
+
+indica que tan ocupado esta el servidor.
+
+- $\rho < 0.5$ sistema subutilizado.
+- $0.5 \leq \rho < 0.8$ funcionamiento optimo.
+- $\rho$ cercano a 1: colas largas.
+- $\rho \geq 1$: congestion.
+
+Si llegan más clientes que lo que la cola puede atender, la cola crece indefinidamente.
+
+*** Probabilidad de Estado
+Es la probablidad de tener exactamente n clientes en el sistema
+
+$pi_n = \rho^n (1 - \rho)$
+
+teniendo en cuenta que:
+- \pi_0 = sistema vacio.
+- \pi_1 = un cliente.
+- \pi_2 = dos clientes.
+*** Numero medio de clientes
+Cantidad promedio de clientes en el sistema:
+
+$N = \frac{\rho}{1 - \rho}$
+
+Cuando \rho se acerca a 1, el numero de clientes crece muchísimo.
+
+*** Equilibrio y Congestión
+
+Un *Sistema Estable* Ocurre cuando:
+
+$\lambda < \mu$
+
+#+begin_quote
+El sistema puede atender a los clientes sin que la cola crezca infinitamente.
+#+end_quote
+
+Mientras tanto un *Sistema Congestionado*:
+
+$\rho \geq 1$
+
+#+begin_quote
+la cola tiende a infinito.
+#+end_quote
+
+** Ecuacion de estado estable
+Relaciona probab lidades entre estados consecutivos.
+
+$\rho * \pi_{n-1} = \pi_n$
+
+** Teorema de Little
+relaciona la cantidad promedio de cleintes, junto con la tasa de llegada y el tiempo promedio del sistema $N = \lambda W$.
+
+Donde:
+- N: clientes promedio en el sistema.
+- \lambda : tasa de llegadas.
+- W: tiempo promedio de permanencia.
+
+*** Variantes
+- $Q = \lambda Wq$. clientes en cola.
+- $N_s = \lambda Ts$. clientes siendo atendidos.
+
+* Clase 6 - Teoria de colas parte 2
+** M/M/1/N
+Son modelos de colas en los cuales:
+- Llegadas aleatorias tipo Poisson.
+- Tiempos de servicio exponenciales.
+- Un unico servidor.
+- Capacidad maxima finita de N clientes.
+
+A diferencia del modelo M/M/1 un M/M/1/N los clientes pueden ser rechazados cuando el sistema esta lleno.
+
+** Caracteristicas Principales
+Componentes del modelo:
+- M: llegadas de poisson.
+- M: Servicio exponencial.
+- 1: un servidor.
+- N: capacidad maxima del sistema.
+
+Funcionamiento:
+- Si el sistema tiene menos de N clientes, el nuevo cliente entra.
+- Si el sistema está lleno (n = N), el cliente es rechazado.
+
+Propiedades:
+- llegadas de Poisson.
+- Servicio Exponencial.
+- Un unico servidor.
+- Disciplina FIFO.
+- Independencia entre entradas y salidas.
+- Capacidad Limitada.
+
+*** Aplicaciones
+El modelo M/M/1/N se utiliza en sistemas con capacidad fisica limitada.
+
+Ejemplos:
+- Sala de espera medicas.
+- Routers.
+- Centrales telefonicas.
+- Estacionemientos.
+- Ascensores.
+- Plataformas de streaming.
+
+En todos los casos existe un limite de capacidad y posibilidad de bloqueo.
+
+** Probabilidad de Bloqueo
+La probablidad de bloqueo (P_B) representa la probabilidad de que u cliente llegue y encuentre el sistma lleno.
+
+$P_B = \pi_N = \frac{\rho^N (1 - \rho)}{1 - \rho^{N + 1}}$
+
+Donde:
+- $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$.
+- \lambda Tasa de llegada.
+- \mu tasa de servicio.
+- N, capacidad maxima.
+
+Un P_B bajo significa que no hay muchos clientes rechazados mientras que uno alto es que se rechazan muchos clientes.
+
+** Tasa de rechazo
+Indica cuantos cliente son rechazados por unidad de tiempo.
+
+$\tau = \lambda * P_B$
+
+** Rendimiento del Sistema
+Es la tasa efectiva de clientes atendidos.
+
+Rendimiento de entrada:
+$\gamma = \lambda (1 - P_B)$
+
+Rendimiento de salida:
+$\gamma = \mu (1 - \pi_0)$
+** Deduccion de la formula de Probablidad
+En un Modelo M/M/1/N solo existen los estados:
+#+begin_center
+$n = 0,1,2,...,N$
+#+end_center
+
+Por esto la distribucion de probabilidad debe corregirse para que la suma total sea 1.
+** Comparación con M/M/1
+| Caracteristicas        | M/M/1             | M/M/1/n          |
+|------------------------+-------------------+------------------|
+| Capacidad              | Infinita          | Finita           |
+| Rechazo                | No                | Si               |
+| Probablidad de bloqueo | 0                 | x>0              |
+| Estados                | Infinitos         | 0 a N            |
+| Rendimiento            | \gamma = \lambda  | \gamma < \lambda |
+| Estabilidad            | Requoiere \rho <1 | Siempre estable  |
+
+** Ventajas del Modelo M/M/1/N
+- Representa sistemas reales con límites físicos.
+- Permite calcular pérdidas por rechazo.
+- Ayuda al dimensionamiento de capacidad.
+- Evita crecimiento infinito de colas.
+
+** Desventajas
+- Puede generar pérdida de clientes.
+- Afecta la reputación del servicio.
+- Requiere cálculos más complejos.
+- Definir capacidad adecuada puede ser difícil.
+
+* Clase 7 - Teoria de colas parte 3
+Introduccion a los sistemas dependientes de estado, Estos son modelos de colas donde las tasas de llegadaa y servicio no son constantes, sino que cambian segun la cantidad de clientes presentes en el sistema.
+
+
+En estos sistemas \lambda_n representa la tasaq de arrivos cuando hay n clientes. y \mu_n representa la tasa de servicio cuando hay n clientes.
+
+** Concepto de Dependencia
+En estos modelos, las condiciones del sistema responde dinamicamente al estado actual.
+
+por ejemplo:
+En una autopista, el transito es fluido y rapido. Con muchos vehiculos aparece congestion y dismunuye la velocidad. Cuando la autopista esta saturada, algunos conductores buscan rutal alternas.
+
+De Forma similar en un sistemas de colas las tasas de llegada y servicio pueden variar según la cantidad de clientes presentes.
+
+** Analogia con sistemas de nacimiento y muerte
+Los sistemas dependientes de estado tambien se conocen como sistemas de nacimiento y muerte debido a su similitud con modelos poblacionales.
+
+*** Nacimientos
+En la poblacion es Nacimientos y en las colas es \lambda_n.
+
+*** Muertes
+representan las salidas del sistema:
+- En poblacion, Muertes.
+- En colas, servicios completados \mu_n.
+
+** Deduccion de probabilidades de estado
+*** Principio de Balance
+El analisis se basa en el principio de balance de flujo, en estado estable, la tasa de entradas a yun estado debe ser igual a la tasa de salidas de ese estado.
+
+*** Desarrollo de formula
+Estado 0, el equilibrio entre entradas y salidas.
+
+$\mu_1 \pi_1 = \lambda_0 \pi_0$
+
+Despejado
+
+$\mu_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0$
+
+
+
+* Clase 8 - M/G/1 y M/D/1
+** M/G/1
+- Llegadas Poisson.
+- Tiempo de servicio General
+- 1 Solo servidor
+
+  Surge porque el modelo M/M/1 asume tiempos exponenciales, algo que no es realista en muchos sistemas.
+
+*** Condicion de estabilidad
+$\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$
+
+\rho representa el porcentaje de tiempo que el servidor esta ocupado.
+
+
+*** Formula
+Permite calcular clientes esperados y tiempo esperado en el sistema
+
+$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho}) [1 - \frac{\rho}{2} (1 - \mu^2 o^2)]$
+
+*** Interpretacion \mu^2 o^2
+Equivale a CV^2 (coeficiente de variacion al cuadrado).
+
+Donde si:
+- CV^2 = 1, comportamiento M/M/1.
+- CV^2 = 0, servicio deterministico M/D/1.
+- CV^2 > 1, mucha variabilidad, peores colas.
+
+** M/D/1
+- Llegadas Poisson.
+- Tiempo de servicio deterministico.
+- 1 servidor.
+
+es el sistema más eficiente para un solo servidor.
+
+
+$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho})(1 - \frac{\rho}{2})$
+
+** Sistemas sin interrupcion
+Es un sistema que termina un gtrabajo antes de empezar uno con prioridad más alta.
+
+$W_1 = W_0 + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$
+
+$Wq_1 = W_0 + \frac{Q_1}{\mu_1}$
+
+** Sistemas con interrupcion
+Si llega alguien de prioridad alta se interrumpe inmediatamente el trabajo actual y el nuevo cliente toma el servidor.
+
+$W_1 = W_{01} + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$
+
+
+** Inanicion
+Clientes/procesos de baja prioridad nunca reciben atención porque siempre llegan otros más prioritarios.
+
+El sistema sigue funcionando pero abandona gente en la cola eternamente. Literal skill issue del scheduler.
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