probando notebooklm
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#+title: Resumen Segundo Parcial
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#+author: Fede
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#+email: federico.nicolas.polidoro@gmail.com
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#+title: Resumen Parcial 2
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#+author: fede & notebooklm
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* M/G/1
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- Llegadas Poisson.
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- Tiempo de servicio General
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- 1 Solo servidor
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* Intro
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El análisis de los sistemas de colas permite identificar cuellos de botella, optimizar recursos y mejorar la experiencia del usuario mediante la reducción de los tiempos de espera. Los hallazgos principales destacan que:
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Surge porque el modelo M/M/1 asume tiempos exponenciales, algo que no es realista en muchos sistemas.
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- Eficiencia del Sistema M/M/2
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La transición de un sistema de servidor único (M/M/1) a uno doble con fila única reduce drásticamente el tiempo de permanencia, superando en eficiencia a la configuración de dos colas separadas.
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*** Condicion de estabilidad
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$\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$
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- Impacto de la Variabilidad (M/G/1)
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En sistemas con un solo servidor, la varianza del tiempo de servicio es un factor crítico; a mayor variabilidad, mayor es la longitud de la cola, incluso si la velocidad media se mantiene constante.
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\rho representa el porcentaje de tiempo que el servidor esta ocupado.
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- Criterios de Intervención
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La decisión de añadir servidores (especialmente si son de distinta velocidad) depende de un valor límite de utilización denominado "Rho Crítico" (\rho_c).
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- Gestión de Prioridades
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Los sistemas no expulsivos permiten dar atención preferencial a clases de clientes específicas sin interrumpir el servicio en curso.
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*** Formula
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Permite calcular clientes esperados y tiempo esperado en el sistema
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* El Modelo M/M/2: Eficiencia y Estructura
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$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho}) [1 - \frac{\rho}{2} (1 - \mu^2 o^2)]$
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El modelo M/M/2 se define por tener arribos que siguen un proceso de Poisson, tiempos de servicio exponenciales y dos servidores que trabajan en paralelo atendiendo una fila única.
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*** Interpretacion \mu^2 o^2
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Equivale a CV^2 (coeficiente de variacion al cuadrado).
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** Características y Beneficios
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- Detección de Cuellos de Botella: Permite identificar dónde se satura el proceso.
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- Sensación de Equidad: Al utilizar una fila única, se evita la percepción de que otras filas avanzan más rápido, lo cual es común en sistemas de filas múltiples.
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- Uso de Recursos: Maximiza la ocupación de los servidores, evitando que uno permanezca ocioso mientras el otro tiene clientes en espera.
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Donde si:
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- CV^2 = 1, comportamiento M/M/1.
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- CV^2 = 0, servicio deterministico M/D/1.
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- CV^2 > 1, mucha variabilidad, peores colas.
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** Parámetros Críticos y Estabilidad
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* Sistema M/M/2
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*** Definición
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- Modelo de teoría de colas con:
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Para que el sistema sea estable, se debe cumplir la condición \lambda < 2\mu (la tasa de llegadas debe ser menor a la capacidad total de servicio).
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- llegadas Poisson
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- tiempos de servicio exponenciales
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- 2 servidores en paralelo
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- una única cola
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| Característica | M/M/1 | M/M/2 |
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|------------------------------+---------------------------+---------------------------|
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| Número de servidores | 1 | 2 |
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| Intensidad de tráfico (\rho) | $\frac{\lambda}{\mu}$ | $\frac{\lambda}{2\mu}$ |
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| Tiempo en el sistema (W) | $\frac{1}{(\mu(1-\rho))}$ | $\frac{1}{\mu(1-\rho^2)}$ |
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| Tiempo de espera | Mayor | Menor |
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*** Notación de Kendall
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Formato: =A/B/s=
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* Comparativa Estratégica: M/M/1 vs. M/M/2
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- Primera =M= → arribos Markovianos (Poisson)
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- Segunda =M= → servicios Markovianos (Exponencial)
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- =2= → dos servidores
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La intervención en un sistema saturado es necesaria cuando las colas aumentan de forma sostenida o el servidor está cerca de su límite.
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** Características
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- Llegadas aleatorias independientes
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- Servicio exponencial
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- Cola única compartida
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- Disciplina FIFO
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- Capacidad infinita
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- Población infinita
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- Dos servidores trabajando en paralelo
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Diagnóstico de Intervención
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*** Servidores iguales
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- Cada servidor atiende a tasa =μ=
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- Sistema Aceptable: E(n) < 3 clientes.
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- Necesita Intervención: E(n) > 5 clientes.
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- Servicio total:
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Caso de Ejemplo: Bajo una tasa de arribos \lambda = 8 y servicio \mu = 10:
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- =μs = 2μ=
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1. En M/M/1, el tiempo medio en el sistema es de 30 minutos.
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2. Al pasar a M/M/2, el tiempo medio se reduce a 7.1 minutos.
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- Intensidad de tráfico:
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* Servidores Heterogéneos y Selección de Servidor
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- =ρ = λ / (2μ)=
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Cuando se dispone de un servidor rápido (\mu_1) y uno lento (\mu_2), la decisión de añadir el segundo servidor depende del Rho Crítico (\rho_c).
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*** FIFO
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- Una sola fila
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- El próximo cliente va al primer servidor libre
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- Sin selección de servidor: Los clientes entran al primer servidor disponible.
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- Con selección de servidor: Existe una política para decidir a qué servidor enviar al cliente.
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- Regla de Decisión: Si \rho \geq \rho_c, es conveniente agregar el segundo servidor. Si \rho < \rho_c, el sistema funciona mejor con uno solo.
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*** Diferencia con =2·(M/M/1)=
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**** M/M/2
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- 1 cola
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- 2 servidores compartidos
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* El Modelo M/G/1 y la Fórmula de Pollaczek-Khinchine
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**** 2·(M/M/1)
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- 2 colas separadas
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- cada servidor tiene su propia fila
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A diferencia de los modelos anteriores, el M/G/1 permite que el tiempo de atención tenga cualquier distribución, requiriendo únicamente conocer su media (E[S]) y varianza (Var[S]).
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M/M/2 es más eficiente.
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** La Importancia de la Varianza
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** Condición de estabilidad
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Para que no colapse:
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La fórmula de Pollaczek-Khinchine para el número esperado de clientes en cola (E[Lq]) demuestra que la variabilidad es perjudicial: $E[Lq] = \frac{\rho^2 + \lambda^2 \cdot Var[S]}{2(1-\rho)}$
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\rho = \frac{\lambda}{2\mu} < 1
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- M/D/1 (Servicio constante): Posee \sigma = 0, representando la referencia de mínima congestión.
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- M/M/1 (Servicio exponencial): Representa la referencia de máxima congestión por su alta variabilidad inherente.
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Entonces:
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** Aplicaciones de M/G/1
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- =λ < 2μ=
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Este modelo es fundamental en entornos donde los tiempos de tarea varían según el caso, tales como:
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** ¿Para qué sirve?
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*** Optimización de recursos
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- Reducir tiempos de espera
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- Evitar servidores innecesarios
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- Hospitales: Consultas de duración variable.
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- Redes / IT: Transmisión de paquetes de distinto tamaño.
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- Manufactura: Piezas que requieren distintos tipos de trabajo.
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*** Análisis de rendimiento
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- Detectar cuellos de botella
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- Medir utilización
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- Comparar escenarios
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* Sistemas con Prioridades (No Expulsivos)
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*** Mejora continua
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- Evaluar cambios antes de implementarlos
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Este modelo se aplica cuando existen clientes de Clase 1 (prioritarios) y Clase 2. La prioridad es no expulsiva, lo que significa que no se interrumpe al cliente que ya está siendo atendido.
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- Decidir si conviene:
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** Orden de Cálculo para el Tiempo de Espera (T_q)
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- agregar servidores
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- aumentar velocidad
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- reorganizar la cola
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Un cliente de clase 1 debe esperar:
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*** Aplicaciones
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- Bancos
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- Supermercados
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- Call centers
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- Hospitales
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- Sistemas informáticos
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- Peajes
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- Aeropuertos
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1. El residuo del tiempo del cliente que ya está en servicio (independientemente de su clase).
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2. El tiempo de servicio de todos los clientes de clase 1 que ya estaban en la fila.
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3. Posteriormente, recibe su propia atención.
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** Ventajas
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- Fórmulas simples
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- Fácil de analizar
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- Permite planificación
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- Muy aplicable
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- Mayor tolerancia a fallos
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* Casos Prácticos y Modelización Numérica
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** Desventajas
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- Supuestos poco realistas
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- Ignora comportamiento humano
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- No encuentra automáticamente la solución óptima
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- No contempla eventos externos
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Las fuentes detallan diversos escenarios de aplicación real:
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** Fórmulas principales
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*** Parámetros base
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- =λ= → tasa de llegadas
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- =μ= → tasa de servicio de UN servidor
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- =μs = 2μ=
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- =ρ = λ / (2μ)=
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*** Número esperado en el sistema
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E(n)=\frac{2\rho}{1-\rho^2}
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- Promedio de clientes esperando + siendo atendidos
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*** Tiempo esperado en el sistema
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E(T)=\frac{1}{\mu(1-\rho^2)}
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- Tiempo promedio dentro del sistema
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*** Teorema de Little
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N=\lambda W
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- Relación entre:
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- clientes promedio
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- tasa de llegada
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- tiempo promedio
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** M/M/1 vs M/M/2
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| Característica | M/M/1 | M/M/2 |
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|--+---------+----------|
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| Servidores | 1 | 2 |
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| Colas | 1 | 1 |
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| Tráfico | =λ/μ= | =λ/2μ= |
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| Espera | Mayor | Menor |
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| Costo | Menor | Mayor |
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| Estabilidad | =λ < μ= | =λ < 2μ= |
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*** Ejemplo
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**** Datos
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- =λ = 8=
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- =μ = 10=
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**** M/M/1
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- =ρ = 0.8=
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- =E(T) = 30 min=
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**** M/M/2
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- =ρ = 0.4=
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- =E(T) ≈ 7.1 min=
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** M/M/2 con servidores distintos
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*** Caso
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- un servidor rápido
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- otro lento
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*** Fórmulas
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\mu_s = \mu_1 + \mu_2
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\rho = \frac{\lambda}{\mu_1+\mu_2}
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*** Ventajas
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- solución rápida ante aumento de demanda
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- menor costo
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- buena transición temporal
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*** Problema
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- percepción de desigualdad:
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- algunos clientes avanzan más rápido que otros según el servidor
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asignado
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* Sistemas con Prioridades
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Los sistemas con prioridades son modelos de colas en los que los
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clientes se clasifican según niveles de importancia o urgencia. El
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servidor no necesariamente atiende por orden de llegada, sino que
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selecciona primero a los clientes de mayor prioridad.
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Las prioridades suelen organizarse en clases jerárquicas:
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- Clase 1 → mayor prioridad
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- Clase 2 → prioridad intermedia
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- Clase 3 → menor prioridad
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Cada clase posee su propia cola de espera. El servidor siempre
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selecciona clientes de la cola de mayor prioridad disponible.
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** Sistema sin interrupción (Non-Preemptive)
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En este esquema, un cliente que ya está siendo atendido siempre finaliza
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su servicio. Aunque llegue un cliente de prioridad superior, el servidor
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no interrumpe la atención actual.
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La prioridad únicamente afecta la selección del próximo cliente cuando
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el servidor queda libre.
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Tiempo de espera en cola para clase 1:
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W_{q1}=W_0+\frac{Q_1}{\mu_1}
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Tiempo total en el sistema para clase 1:
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W_1=W_0+\frac{Q_1+1}{\mu_1}
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Características:
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- No existe interrupción del servicio en curso
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- Menor complejidad operativa
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- Mayor estabilidad del procesamiento
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- Los clientes prioritarios pueden seguir esperando si el servicio
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actual es largo
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** Sistema con interrupción (Preemptive)
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En este esquema, si llega un cliente de prioridad superior, el servidor
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interrumpe inmediatamente al cliente actual y comienza a atender al
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nuevo cliente prioritario.
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El cliente desplazado vuelve a la cola o reinicia el servicio según la
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política utilizada.
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Tiempo de espera en cola para clase 1:
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W_{q1}=W_{01}+\frac{Q_1}{\mu_1}
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Tiempo total en el sistema para clase 1:
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W_1=W_{01}+\frac{Q_1+1}{\mu_1}
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Características:
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- Minimiza la espera de clientes urgentes
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- Aumenta la complejidad del sistema
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- Puede producir sobrecarga por interrupciones frecuentes
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- Puede perjudicar severamente a clases bajas
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** Inanición (Starvation)
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La inanición ocurre cuando clientes de baja prioridad permanecen
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indefinidamente en espera debido a la llegada continua de clientes de
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mayor prioridad.
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Consecuencias:
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- Espera potencialmente infinita
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- Falta de equidad
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- Degradación del rendimiento global
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- Bloqueo práctico de ciertas tareas
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Mecanismos de mitigación:
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- Aging
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- Límites de interrupciones
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- Cuotas mínimas de servicio
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- Aumento dinámico de prioridad
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* Sistemas Complejos
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Un sistema complejo es un conjunto de componentes interrelacionados cuya
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interacción genera comportamientos globales difíciles de predecir
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mediante el análisis individual de cada componente.
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El comportamiento del sistema surge de las interacciones entre sus
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partes y no únicamente de las propiedades de cada elemento aislado.
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** Características principales
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- Gran cantidad de componentes
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- Interacciones simultáneas
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- Dependencias mutuas
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- Retroalimentación (feedback)
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- Dinámica no lineal
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- Adaptación continua
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- Comportamiento emergente
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- Sensibilidad a perturbaciones
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** Propiedades fundamentales
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*** Emergencia
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El sistema presenta propiedades globales que no existen en los
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componentes individuales.
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*** No linealidad
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Pequeñas variaciones pueden producir cambios desproporcionadamente
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grandes en el comportamiento global.
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*** Autoorganización
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El sistema puede generar orden interno sin control centralizado.
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*** Adaptabilidad
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El sistema modifica su comportamiento frente a cambios del entorno.
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** Relación con teoría de colas
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Los sistemas complejos frecuentemente incorporan:
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- múltiples colas,
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- prioridades,
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- asignación dinámica de recursos,
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- interrupciones,
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- competencia entre procesos.
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La interacción entre estos elementos puede generar:
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- congestión,
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- cuellos de botella,
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- propagación de fallos,
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- inestabilidad,
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- inanición,
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||||
- saturación sistémica.
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La teoría de colas se utiliza para modelar y analizar partes específicas
|
||||
de estos sistemas, especialmente aquellas relacionadas con espera,
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utilización de recursos y rendimiento global.
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- Fábrica de Periscopios: Un sistema de dos procesos consecutivos (corte y doblado) que requiere el cálculo de probabilidades de estado para determinar la saturación en cada etapa.
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||||
- Sector de Cajas de Supermercado: Operación mediante fila única que conduce a dos cajas registradoras idénticas. Se analizan métricas como la probabilidad de sistema vacío y el tiempo promedio en cola.
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||||
- Enrutamiento de Paquetes: Uso del Teorema de Little (L = \lambda \cdot W) para despejar la tasa de arribos y determinar el tiempo de permanencia en buffers de routers con alta capacidad de servicio.
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||||
- Sistemas de IA y APIs: Aplicación del modelo M/G/1 para gestionar solicitudes de backend donde la variabilidad del servicio es alta.
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||||
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||||
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