#+title: Resumen Parcial 2
#+author: fede & notebooklm

* Intro
El análisis de los sistemas de colas permite identificar cuellos de botella, optimizar recursos y mejorar la experiencia del usuario mediante la reducción de los tiempos de espera. Los hallazgos principales destacan que:

- Eficiencia del Sistema M/M/2
La transición de un sistema de servidor único (M/M/1) a uno doble con fila única reduce drásticamente el tiempo de permanencia, superando en eficiencia a la configuración de dos colas separadas.

- Impacto de la Variabilidad (M/G/1)
En sistemas con un solo servidor, la varianza del tiempo de servicio es un factor crítico; a mayor variabilidad, mayor es la longitud de la cola, incluso si la velocidad media se mantiene constante.

- Criterios de Intervención
La decisión de añadir servidores (especialmente si son de distinta velocidad) depende de un valor límite de utilización denominado "Rho Crítico" (\rho_c).

- Gestión de Prioridades
Los sistemas no expulsivos permiten dar atención preferencial a clases de clientes específicas sin interrumpir el servicio en curso.

* El Modelo M/M/2: Eficiencia y Estructura

El modelo M/M/2 se define por tener arribos que siguen un proceso de Poisson, tiempos de servicio exponenciales y dos servidores que trabajan en paralelo atendiendo una fila única.

** Características y Beneficios
- Detección de Cuellos de Botella: Permite identificar dónde se satura el proceso.
- Sensación de Equidad: Al utilizar una fila única, se evita la percepción de que otras filas avanzan más rápido, lo cual es común en sistemas de filas múltiples.
- Uso de Recursos: Maximiza la ocupación de los servidores, evitando que uno permanezca ocioso mientras el otro tiene clientes en espera.

** Parámetros Críticos y Estabilidad

Para que el sistema sea estable, se debe cumplir la condición \lambda < 2\mu (la tasa de llegadas debe ser menor a la capacidad total de servicio).

| Característica               | M/M/1                     | M/M/2                     |
|------------------------------+---------------------------+---------------------------|
| Número de servidores         | 1                         | 2                         |
| Intensidad de tráfico (\rho) | $\frac{\lambda}{\mu}$     | $\frac{\lambda}{2\mu}$    |
| Tiempo en el sistema (W)     | $\frac{1}{(\mu(1-\rho))}$ | $\frac{1}{\mu(1-\rho^2)}$ |
| Tiempo de espera             | Mayor                     | Menor                     |
|                              |                           |                           |

* Comparativa Estratégica: M/M/1 vs. M/M/2

La intervención en un sistema saturado es necesaria cuando las colas aumentan de forma sostenida o el servidor está cerca de su límite.

Diagnóstico de Intervención

- Sistema Aceptable: E(n) < 3 clientes.
- Necesita Intervención: E(n) > 5 clientes.

Caso de Ejemplo: Bajo una tasa de arribos \lambda = 8 y servicio \mu = 10:

1. En M/M/1, el tiempo medio en el sistema es de 30 minutos.
2. Al pasar a M/M/2, el tiempo medio se reduce a 7.1 minutos.

* Servidores Heterogéneos y Selección de Servidor

Cuando se dispone de un servidor rápido (\mu_1) y uno lento (\mu_2), la decisión de añadir el segundo servidor depende del Rho Crítico (\rho_c).

- Sin selección de servidor: Los clientes entran al primer servidor disponible.
- Con selección de servidor: Existe una política para decidir a qué servidor enviar al cliente.
- Regla de Decisión: Si \rho \geq \rho_c, es conveniente agregar el segundo servidor. Si \rho < \rho_c, el sistema funciona mejor con uno solo.

* El Modelo M/G/1 y la Fórmula de Pollaczek-Khinchine

A diferencia de los modelos anteriores, el M/G/1 permite que el tiempo de atención tenga cualquier distribución, requiriendo únicamente conocer su media (E[S]) y varianza (Var[S]).

** La Importancia de la Varianza

La fórmula de Pollaczek-Khinchine para el número esperado de clientes en cola (E[Lq]) demuestra que la variabilidad es perjudicial: $E[Lq] = \frac{\rho^2 + \lambda^2 \cdot Var[S]}{2(1-\rho)}$

- M/D/1 (Servicio constante): Posee \sigma = 0, representando la referencia de mínima congestión.
- M/M/1 (Servicio exponencial): Representa la referencia de máxima congestión por su alta variabilidad inherente.

** Aplicaciones de M/G/1

Este modelo es fundamental en entornos donde los tiempos de tarea varían según el caso, tales como:

- Hospitales: Consultas de duración variable.
- Redes / IT: Transmisión de paquetes de distinto tamaño.
- Manufactura: Piezas que requieren distintos tipos de trabajo.

* Sistemas con Prioridades (No Expulsivos)

Este modelo se aplica cuando existen clientes de Clase 1 (prioritarios) y Clase 2. La prioridad es no expulsiva, lo que significa que no se interrumpe al cliente que ya está siendo atendido.

** Orden de Cálculo para el Tiempo de Espera (T_q)

Un cliente de clase 1 debe esperar:

1. El residuo del tiempo del cliente que ya está en servicio (independientemente de su clase).
2. El tiempo de servicio de todos los clientes de clase 1 que ya estaban en la fila.
3. Posteriormente, recibe su propia atención.

* Casos Prácticos y Modelización Numérica

Las fuentes detallan diversos escenarios de aplicación real:

- Fábrica de Periscopios: Un sistema de dos procesos consecutivos (corte y doblado) que requiere el cálculo de probabilidades de estado para determinar la saturación en cada etapa.
- Sector de Cajas de Supermercado: Operación mediante fila única que conduce a dos cajas registradoras idénticas. Se analizan métricas como la probabilidad de sistema vacío y el tiempo promedio en cola.
- Enrutamiento de Paquetes: Uso del Teorema de Little (L = \lambda \cdot W) para despejar la tasa de arribos y determinar el tiempo de permanencia en buffers de routers con alta capacidad de servicio.
- Sistemas de IA y APIs: Aplicación del modelo M/G/1 para gestionar solicitudes de backend donde la variabilidad del servicio es alta.