#+title: resumen.parcial #+author: fede * Clase 1 - Modelizacion de sistemas Esta estudia conjuntos de elementos interrelacionados que trabajan para un objetivo común. Los sistemas tienen caracteristicas como totalidad (funcionan como un todo), equilibrio, objetivo definido y entropia. Existen dos tipos principales: - Sistemas Abiertos: \\ ~Intercambian materia energiao informacion con el entorno (ej, empresas, ecosistemas, ciudades).~ - Sistemas Cerrados: \\ ~Estan aislados o tienen intercambios minimos con el exterior (ej, termo hermetico. experimento sellado).~ Para poder modelizar un sistma abierto es necesario "cerrarlo", definiendo limites y simplificando variables externas. Esto Permite analizarlo matematicamente. 1. identificar limites. 2. Fijar Fronteras 3. Definir que esta dentro. 4. Ignorar lo externo ** Caracteristicas de los sistemas *** Totalidad El sistema funciona como un todo integrado. el comportamiento del sistema completo no puede entenderse simplemento sumando las partes individuales. *** Equilibrio Los sistemas tienden a adaptarse y mantener un estado estable mediante mecanismos de retroalimentacion. *** Objetividad Todo sistema tiene un proposito o funcion definida. * Clase 2 - Modelos ** Modelos Es una representacion simbolica y simplificada de un sistema. - Simbolica: usa simbolos para representar la realidad. - Simplificada: elimina los detalles innecesarios para facilitar el analisis. ** Clasificacion de modelos *** Modelos Concretos Son tangibles. Segun la forma: - Iconicos: pierden dimensiones (mapas, fotos, planos). - No Iconicos: conservan dimensiones (maquetas, globos terráqueos). Segun comportamiento: - Analogicos: represetnan la dinamica o comportamiento (termometro, relog de arena). - No analogicos: representan la forma, no la dinamica. *** Modelos Abstractos Son intangibles. Segun la forma: - Coloquiales: descripciones o manuales. - Matematios: formulas o programas. Segun comportamiento: - Analiticos: formulas matematicas. - Numericos: simulaciones o software. Además existen estas clasificaciones: - Estaticos: No dependen del tiempo. - Dinamicos: dependen del tiempo. - Deterministicos: Sin Azar. - Estocasticos: usan probabilidades. ** Teoria de la informacion La informacion es una reduccion de incertidumbre de un receptor. Depende de cuanto se esperaba un dato: - Evento Improbable → mucha informacion - Evento seguro → poca o nula informacion. $I_r (s) = log_r (\frac{1}{P(s)})$ Es un modelo abstracto, matemático, analítico, estático y estocástico. ** Pasos para Desarrollar un Modelo - Conocer el sistema. - Fijar límites y cerrar el sistema. - Reducir variables importantes. - Desarrollar el modelo. - Probarlo: - si funciona → se acepta, - si falla parcialmente → se corrige, - si falla mucho → se rehace. - Documentarlo. * Clase 3 - Simuladores Un simulador es la reproduccion del comportamiento dinamico de un sistema usando un modelo. Es un modelo numerico procesado por computadora y representado como software. ** Caracteristicas - Permiten experimentar y modificar sistemas facilmente. - Buscan soluciones particulares. - Son utiles cuando el sistema es muy complejo para resolverse con formulas analiticas. ** Tecnica de montecarlo Metodo de simulacion que usa numeros aleatorio o pseudoaleatorios como datos de entrada. *** Idea Principal Generar muchos escenarios aleatorios para aproximar resultados reales. *** Cuándo usarlo - Sistemas con incertidumbre. - Riesgo financiero. - Colas y esperas. - Meteorología. *** Cuándo NO usarlo - Problemas simples y determinísticos. - Casos donde se necesita exactitud total. *** Ventajas - Flexible. - Maneja sistemas complejos. - Permite visualizar incertidumbre. *** Desventajas - No da resultados exactos. - Cada simulación puede variar. - Alto costo computacional. ** Números Aleatorios y Pseudoaleatorios *** Aleatorios - Generados por fenómenos físicos. - Verdaderamente impredecibles. - No reproducibles. *** Pseudoaleatorios - Generados por algoritmos y semillas. - Tienen período finito. - Reproducibles usando la misma semilla. *** Ventajas de pseudoaleatorios - Permiten debugging. - Comparación justa de modelos. - Son rápidos y prácticos para simulación. ** Lenguajes de Simulación *** Propósito General Lenguajes comunes como Python, C++, Java o R. - Más flexibles y baratos. - Desarrollo más largo. *** Propósito Específico Diseñados para simulación, como GPSS, Simula o Arena. - Desarrollo más rápido. - Herramientas integradas. - Más costosos y especializados. *** Tipos de simulación - Discreta: cambios por eventos. - Continua: cambios continuos mediante ecuaciones diferenciales. - Mixta: combina ambas. * Clase 5 - Teoria de colas parte 1 ** ¿Que es la teoria de colas? Esta consiste en un estudio matematico de los sistemas de espera para optimizar recursos y reducir tiempos de demora. ** Origen Fue desarrollado en 1909 al analizar la congestion de llamas telefonicas en copenhague. ** Elementos Tiene 3 elementos basicos - Clientes: Quienes solicitan el servicio. - Area de espera: Lugar fisico o cirtual donde esperan. - Servidores: quienes brindan el servicio. ** Notacion de Kendall Describe sistemas de colas de forma compacta: *** Formato `A / B /C ` donde: - A, distribucion de llegadas. - B, distribucion de servicio. - c, cantidad de servidores. *** Tipos de principales - M, markoviana (Poisson/exponencial). - D, Deterministica. - G, General. *** Ejemplos - M/M/1, llegadas Poisson, servicio exponencial y 1 servidor. - M/M/c, varios servidores. - M/D/1, servicio constante. - D/D/1, llegadas y servicios contantes. *** Disciplinas de servicio - FIFO, primero en llegar, primero en salir. - LIFO, ultimo en llegar, primero en salir. - Prioridad, atencion según importancia. ** Sistemas M/M/1 Es el modelo más basicos para modelar. *** Caracteristicas - Llegadas Poisson. - Servicio exponencial. - Un solo servidor. - Cola FIFO. - Entradas y salidas independientes. *** Parametros Importantes - Tasa de arrivos $\lambda$ Consiste en la cantidad promedio de clientes que llegan por unidad de tiempo. - Tasa de servicio $\mu$ Es la cantidad promedio de clientes que el servidor atiende cada una unidad de tiempo - Tiempo medio de servicio $T_s = \frac{1}{\mu}$ *** Factor de utilizacion $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ indica que tan ocupado esta el servidor. - $\rho < 0.5$ sistema subutilizado. - $0.5 \leq \rho < 0.8$ funcionamiento optimo. - $\rho$ cercano a 1: colas largas. - $\rho \geq 1$: congestion. Si llegan más clientes que lo que la cola puede atender, la cola crece indefinidamente. *** Probabilidad de Estado Es la probablidad de tener exactamente n clientes en el sistema $pi_n = \rho^n (1 - \rho)$ teniendo en cuenta que: - \pi_0 = sistema vacio. - \pi_1 = un cliente. - \pi_2 = dos clientes. *** Numero medio de clientes Cantidad promedio de clientes en el sistema: $N = \frac{\rho}{1 - \rho}$ Cuando \rho se acerca a 1, el numero de clientes crece muchísimo. *** Equilibrio y Congestión Un *Sistema Estable* Ocurre cuando: $\lambda < \mu$ #+begin_quote El sistema puede atender a los clientes sin que la cola crezca infinitamente. #+end_quote Mientras tanto un *Sistema Congestionado*: $\rho \geq 1$ #+begin_quote la cola tiende a infinito. #+end_quote ** Ecuacion de estado estable Relaciona probab lidades entre estados consecutivos. $\rho * \pi_{n-1} = \pi_n$ ** Teorema de Little relaciona la cantidad promedio de cleintes, junto con la tasa de llegada y el tiempo promedio del sistema $N = \lambda W$. Donde: - N: clientes promedio en el sistema. - \lambda : tasa de llegadas. - W: tiempo promedio de permanencia. *** Variantes - $Q = \lambda Wq$. clientes en cola. - $N_s = \lambda Ts$. clientes siendo atendidos. * Clase 6 - Teoria de colas parte 2 ** M/M/1/N Son modelos de colas en los cuales: - Llegadas aleatorias tipo Poisson. - Tiempos de servicio exponenciales. - Un unico servidor. - Capacidad maxima finita de N clientes. A diferencia del modelo M/M/1 un M/M/1/N los clientes pueden ser rechazados cuando el sistema esta lleno. ** Caracteristicas Principales Componentes del modelo: - M: llegadas de poisson. - M: Servicio exponencial. - 1: un servidor. - N: capacidad maxima del sistema. Funcionamiento: - Si el sistema tiene menos de N clientes, el nuevo cliente entra. - Si el sistema está lleno (n = N), el cliente es rechazado. Propiedades: - llegadas de Poisson. - Servicio Exponencial. - Un unico servidor. - Disciplina FIFO. - Independencia entre entradas y salidas. - Capacidad Limitada. *** Aplicaciones El modelo M/M/1/N se utiliza en sistemas con capacidad fisica limitada. Ejemplos: - Sala de espera medicas. - Routers. - Centrales telefonicas. - Estacionemientos. - Ascensores. - Plataformas de streaming. En todos los casos existe un limite de capacidad y posibilidad de bloqueo. ** Probabilidad de Bloqueo La probablidad de bloqueo (P_B) representa la probabilidad de que u cliente llegue y encuentre el sistma lleno. $P_B = \pi_N = \frac{\rho^N (1 - \rho)}{1 - \rho^{N + 1}}$ Donde: - $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$. - \lambda Tasa de llegada. - \mu tasa de servicio. - N, capacidad maxima. Un P_B bajo significa que no hay muchos clientes rechazados mientras que uno alto es que se rechazan muchos clientes. ** Tasa de rechazo Indica cuantos cliente son rechazados por unidad de tiempo. $\tau = \lambda * P_B$ ** Rendimiento del Sistema Es la tasa efectiva de clientes atendidos. Rendimiento de entrada: $\gamma = \lambda (1 - P_B)$ Rendimiento de salida: $\gamma = \mu (1 - \pi_0)$ ** Deduccion de la formula de Probablidad En un Modelo M/M/1/N solo existen los estados: #+begin_center $n = 0,1,2,...,N$ #+end_center Por esto la distribucion de probabilidad debe corregirse para que la suma total sea 1. ** Comparación con M/M/1 | Caracteristicas | M/M/1 | M/M/1/n | |------------------------+-------------------+------------------| | Capacidad | Infinita | Finita | | Rechazo | No | Si | | Probablidad de bloqueo | 0 | x>0 | | Estados | Infinitos | 0 a N | | Rendimiento | \gamma = \lambda | \gamma < \lambda | | Estabilidad | Requoiere \rho <1 | Siempre estable | ** Ventajas del Modelo M/M/1/N - Representa sistemas reales con límites físicos. - Permite calcular pérdidas por rechazo. - Ayuda al dimensionamiento de capacidad. - Evita crecimiento infinito de colas. ** Desventajas - Puede generar pérdida de clientes. - Afecta la reputación del servicio. - Requiere cálculos más complejos. - Definir capacidad adecuada puede ser difícil. * Clase 7 - Teoria de colas parte 3 Introduccion a los sistemas dependientes de estado, Estos son modelos de colas donde las tasas de llegadaa y servicio no son constantes, sino que cambian segun la cantidad de clientes presentes en el sistema. En estos sistemas \lambda_n representa la tasaq de arrivos cuando hay n clientes. y \mu_n representa la tasa de servicio cuando hay n clientes. ** Concepto de Dependencia En estos modelos, las condiciones del sistema responde dinamicamente al estado actual. por ejemplo: En una autopista, el transito es fluido y rapido. Con muchos vehiculos aparece congestion y dismunuye la velocidad. Cuando la autopista esta saturada, algunos conductores buscan rutal alternas. De Forma similar en un sistemas de colas las tasas de llegada y servicio pueden variar según la cantidad de clientes presentes. ** Analogia con sistemas de nacimiento y muerte Los sistemas dependientes de estado tambien se conocen como sistemas de nacimiento y muerte debido a su similitud con modelos poblacionales. *** Nacimientos En la poblacion es Nacimientos y en las colas es \lambda_n. *** Muertes representan las salidas del sistema: - En poblacion, Muertes. - En colas, servicios completados \mu_n. ** Deduccion de probabilidades de estado *** Principio de Balance El analisis se basa en el principio de balance de flujo, en estado estable, la tasa de entradas a yun estado debe ser igual a la tasa de salidas de ese estado. *** Desarrollo de formula Estado 0, el equilibrio entre entradas y salidas. $\mu_1 \pi_1 = \lambda_0 \pi_0$ Despejado $\mu_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0$ * Clase 8 - M/G/1 y M/D/1 ** M/G/1 - Llegadas Poisson. - Tiempo de servicio General - 1 Solo servidor Surge porque el modelo M/M/1 asume tiempos exponenciales, algo que no es realista en muchos sistemas. *** Condicion de estabilidad $\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$ \rho representa el porcentaje de tiempo que el servidor esta ocupado. *** Formula Permite calcular clientes esperados y tiempo esperado en el sistema $E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho}) [1 - \frac{\rho}{2} (1 - \mu^2 o^2)]$ *** Interpretacion \mu^2 o^2 Equivale a CV^2 (coeficiente de variacion al cuadrado). Donde si: - CV^2 = 1, comportamiento M/M/1. - CV^2 = 0, servicio deterministico M/D/1. - CV^2 > 1, mucha variabilidad, peores colas. ** M/D/1 - Llegadas Poisson. - Tiempo de servicio deterministico. - 1 servidor. es el sistema más eficiente para un solo servidor. $E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho})(1 - \frac{\rho}{2})$ ** Sistemas sin interrupcion Es un sistema que termina un gtrabajo antes de empezar uno con prioridad más alta. $W_1 = W_0 + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$ $Wq_1 = W_0 + \frac{Q_1}{\mu_1}$ ** Sistemas con interrupcion Si llega alguien de prioridad alta se interrumpe inmediatamente el trabajo actual y el nuevo cliente toma el servidor. $W_1 = W_{01} + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$ ** Inanicion Clientes/procesos de baja prioridad nunca reciben atención porque siempre llegan otros más prioritarios. El sistema sigue funcionando pero abandona gente en la cola eternamente. Literal skill issue del scheduler.