14 KiB
resumen.parcial
- Clase 1 - Modelizacion de sistemas
- Clase 2 - Modelos
- Clase 3 - Simuladores
- Clase 5 - Teoria de colas parte 1
- Clase 6 - Teoria de colas parte 2
- Clase 7 - Teoria de colas parte 3
- Clase 8 - M/G/1 y M/D/1
Clase 1 - Modelizacion de sistemas
Esta estudia conjuntos de elementos interrelacionados que trabajan para un objetivo común. Los sistemas tienen caracteristicas como totalidad (funcionan como un todo), equilibrio, objetivo definido y entropia.
Existen dos tipos principales:
- Sistemas Abiertos:
Intercambian materia energiao informacion con el entorno (ej, empresas, ecosistemas, ciudades). -
Sistemas Cerrados:
Estan aislados o tienen intercambios minimos con el exterior (ej, termo hermetico. experimento sellado).Para poder modelizar un sistma abierto es necesario "cerrarlo", definiendo limites y simplificando variables externas. Esto Permite analizarlo matematicamente.
- identificar limites.
- Fijar Fronteras
- Definir que esta dentro.
- Ignorar lo externo
Caracteristicas de los sistemas
Totalidad
El sistema funciona como un todo integrado. el comportamiento del sistema completo no puede entenderse simplemento sumando las partes individuales.
Equilibrio
Los sistemas tienden a adaptarse y mantener un estado estable mediante mecanismos de retroalimentacion.
Objetividad
Todo sistema tiene un proposito o funcion definida.
Clase 2 - Modelos
Modelos
Es una representacion simbolica y simplificada de un sistema.
- Simbolica: usa simbolos para representar la realidad.
- Simplificada: elimina los detalles innecesarios para facilitar el analisis.
Clasificacion de modelos
Modelos Concretos
Son tangibles.
Segun la forma:
- Iconicos: pierden dimensiones (mapas, fotos, planos).
- No Iconicos: conservan dimensiones (maquetas, globos terráqueos).
Segun comportamiento:
- Analogicos: represetnan la dinamica o comportamiento (termometro, relog de arena).
- No analogicos: representan la forma, no la dinamica.
Modelos Abstractos
Son intangibles.
Segun la forma:
- Coloquiales: descripciones o manuales.
- Matematios: formulas o programas.
Segun comportamiento:
- Analiticos: formulas matematicas.
- Numericos: simulaciones o software.
Además existen estas clasificaciones:
- Estaticos: No dependen del tiempo.
- Dinamicos: dependen del tiempo.
- Deterministicos: Sin Azar.
- Estocasticos: usan probabilidades.
Teoria de la informacion
La informacion es una reduccion de incertidumbre de un receptor. Depende de cuanto se esperaba un dato:
- Evento Improbable → mucha informacion
- Evento seguro → poca o nula informacion.
$I_r (s) = log_r (\frac{1}{P(s)})$
Es un modelo abstracto, matemático, analítico, estático y estocástico.
Pasos para Desarrollar un Modelo
- Conocer el sistema.
- Fijar límites y cerrar el sistema.
- Reducir variables importantes.
- Desarrollar el modelo.
-
Probarlo:
- si funciona → se acepta,
- si falla parcialmente → se corrige,
- si falla mucho → se rehace.
- Documentarlo.
Clase 3 - Simuladores
Un simulador es la reproduccion del comportamiento dinamico de un sistema usando un modelo. Es un modelo numerico procesado por computadora y representado como software.
Caracteristicas
- Permiten experimentar y modificar sistemas facilmente.
- Buscan soluciones particulares.
- Son utiles cuando el sistema es muy complejo para resolverse con formulas analiticas.
Tecnica de montecarlo
Metodo de simulacion que usa numeros aleatorio o pseudoaleatorios como datos de entrada.
Idea Principal
Generar muchos escenarios aleatorios para aproximar resultados reales.
Cuándo usarlo
- Sistemas con incertidumbre.
- Riesgo financiero.
- Colas y esperas.
- Meteorología.
Cuándo NO usarlo
- Problemas simples y determinísticos.
- Casos donde se necesita exactitud total.
Ventajas
- Flexible.
- Maneja sistemas complejos.
- Permite visualizar incertidumbre.
Desventajas
- No da resultados exactos.
- Cada simulación puede variar.
- Alto costo computacional.
Números Aleatorios y Pseudoaleatorios
Aleatorios
- Generados por fenómenos físicos.
- Verdaderamente impredecibles.
- No reproducibles.
Pseudoaleatorios
- Generados por algoritmos y semillas.
- Tienen período finito.
- Reproducibles usando la misma semilla.
Ventajas de pseudoaleatorios
- Permiten debugging.
- Comparación justa de modelos.
- Son rápidos y prácticos para simulación.
Lenguajes de Simulación
Propósito General
Lenguajes comunes como Python, C++, Java o R.
- Más flexibles y baratos.
- Desarrollo más largo.
Propósito Específico
Diseñados para simulación, como GPSS, Simula o Arena.
- Desarrollo más rápido.
- Herramientas integradas.
- Más costosos y especializados.
Tipos de simulación
- Discreta: cambios por eventos.
- Continua: cambios continuos mediante ecuaciones diferenciales.
- Mixta: combina ambas.
Clase 5 - Teoria de colas parte 1
¿Que es la teoria de colas?
Esta consiste en un estudio matematico de los sistemas de espera para optimizar recursos y reducir tiempos de demora.
Origen
Fue desarrollado en 1909 al analizar la congestion de llamas telefonicas en copenhague.
Elementos
Tiene 3 elementos basicos
- Clientes: Quienes solicitan el servicio.
- Area de espera: Lugar fisico o cirtual donde esperan.
- Servidores: quienes brindan el servicio.
Notacion de Kendall
Describe sistemas de colas de forma compacta:
Formato
`A / B /C ` donde:
- A, distribucion de llegadas.
- B, distribucion de servicio.
- c, cantidad de servidores.
Tipos de principales
- M, markoviana (Poisson/exponencial).
- D, Deterministica.
- G, General.
Ejemplos
- M/M/1, llegadas Poisson, servicio exponencial y 1 servidor.
- M/M/c, varios servidores.
- M/D/1, servicio constante.
- D/D/1, llegadas y servicios contantes.
Disciplinas de servicio
- FIFO, primero en llegar, primero en salir.
- LIFO, ultimo en llegar, primero en salir.
- Prioridad, atencion según importancia.
Sistemas M/M/1
Es el modelo más basicos para modelar.
Caracteristicas
- Llegadas Poisson.
- Servicio exponencial.
- Un solo servidor.
- Cola FIFO.
- Entradas y salidas independientes.
Parametros Importantes
- Tasa de arrivos $\lambda$ Consiste en la cantidad promedio de clientes que llegan por unidad de tiempo.
- Tasa de servicio $\mu$ Es la cantidad promedio de clientes que el servidor atiende cada una unidad de tiempo
- Tiempo medio de servicio $T_s = \frac{1}{\mu}$
Factor de utilizacion
$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$
indica que tan ocupado esta el servidor.
- $\rho < 0.5$ sistema subutilizado.
- $0.5 \leq \rho < 0.8$ funcionamiento optimo.
- $\rho$ cercano a 1: colas largas.
- $\rho \geq 1$: congestion.
Si llegan más clientes que lo que la cola puede atender, la cola crece indefinidamente.
Probabilidad de Estado
Es la probablidad de tener exactamente n clientes en el sistema
$pi_n = \rho^n (1 - \rho)$
teniendo en cuenta que:
- π_0 = sistema vacio.
- π_1 = un cliente.
- π_2 = dos clientes.
Numero medio de clientes
Cantidad promedio de clientes en el sistema:
$N = \frac{\rho}{1 - \rho}$
Cuando ρ se acerca a 1, el numero de clientes crece muchísimo.
Equilibrio y Congestión
Un Sistema Estable Ocurre cuando:
$\lambda < \mu$
El sistema puede atender a los clientes sin que la cola crezca infinitamente.
Mientras tanto un Sistema Congestionado:
$\rho \geq 1$
la cola tiende a infinito.
Ecuacion de estado estable
Relaciona probab lidades entre estados consecutivos.
$\rho * \pi_{n-1} = \pi_n$
Teorema de Little
relaciona la cantidad promedio de cleintes, junto con la tasa de llegada y el tiempo promedio del sistema $N = \lambda W$.
Donde:
- N: clientes promedio en el sistema.
- λ : tasa de llegadas.
- W: tiempo promedio de permanencia.
Variantes
- $Q = \lambda Wq$. clientes en cola.
- $N_s = \lambda Ts$. clientes siendo atendidos.
Clase 6 - Teoria de colas parte 2
M/M/1/N
Son modelos de colas en los cuales:
- Llegadas aleatorias tipo Poisson.
- Tiempos de servicio exponenciales.
- Un unico servidor.
- Capacidad maxima finita de N clientes.
A diferencia del modelo M/M/1 un M/M/1/N los clientes pueden ser rechazados cuando el sistema esta lleno.
Caracteristicas Principales
Componentes del modelo:
- M: llegadas de poisson.
- M: Servicio exponencial.
- 1: un servidor.
- N: capacidad maxima del sistema.
Funcionamiento:
- Si el sistema tiene menos de N clientes, el nuevo cliente entra.
- Si el sistema está lleno (n = N), el cliente es rechazado.
Propiedades:
- llegadas de Poisson.
- Servicio Exponencial.
- Un unico servidor.
- Disciplina FIFO.
- Independencia entre entradas y salidas.
- Capacidad Limitada.
Aplicaciones
El modelo M/M/1/N se utiliza en sistemas con capacidad fisica limitada.
Ejemplos:
- Sala de espera medicas.
- Routers.
- Centrales telefonicas.
- Estacionemientos.
- Ascensores.
- Plataformas de streaming.
En todos los casos existe un limite de capacidad y posibilidad de bloqueo.
Probabilidad de Bloqueo
La probablidad de bloqueo (P_B) representa la probabilidad de que u cliente llegue y encuentre el sistma lleno.
$P_B = \pi_N = \frac{\rho^N (1 - \rho)}{1 - \rho^{N + 1}}$
Donde:
- $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$.
- λ Tasa de llegada.
- μ tasa de servicio.
- N, capacidad maxima.
Un P_B bajo significa que no hay muchos clientes rechazados mientras que uno alto es que se rechazan muchos clientes.
Tasa de rechazo
Indica cuantos cliente son rechazados por unidad de tiempo.
$\tau = \lambda * P_B$
Rendimiento del Sistema
Es la tasa efectiva de clientes atendidos.
Rendimiento de entrada: $\gamma = \lambda (1 - P_B)$
Rendimiento de salida: $\gamma = \mu (1 - \pi_0)$
Deduccion de la formula de Probablidad
En un Modelo M/M/1/N solo existen los estados:
$n = 0,1,2,...,N$
Por esto la distribucion de probabilidad debe corregirse para que la suma total sea 1.
Comparación con M/M/1
| Caracteristicas | M/M/1 | M/M/1/n |
|---|---|---|
| Capacidad | Infinita | Finita |
| Rechazo | No | Si |
| Probablidad de bloqueo | 0 | x>0 |
| Estados | Infinitos | 0 a N |
| Rendimiento | γ = λ | γ < λ |
| Estabilidad | Requoiere ρ <1 | Siempre estable |
Ventajas del Modelo M/M/1/N
- Representa sistemas reales con límites físicos.
- Permite calcular pérdidas por rechazo.
- Ayuda al dimensionamiento de capacidad.
- Evita crecimiento infinito de colas.
Desventajas
- Puede generar pérdida de clientes.
- Afecta la reputación del servicio.
- Requiere cálculos más complejos.
- Definir capacidad adecuada puede ser difícil.
Clase 7 - Teoria de colas parte 3
Introduccion a los sistemas dependientes de estado, Estos son modelos de colas donde las tasas de llegadaa y servicio no son constantes, sino que cambian segun la cantidad de clientes presentes en el sistema.
En estos sistemas λ_n representa la tasaq de arrivos cuando hay n clientes. y μ_n representa la tasa de servicio cuando hay n clientes.
Concepto de Dependencia
En estos modelos, las condiciones del sistema responde dinamicamente al estado actual.
por ejemplo: En una autopista, el transito es fluido y rapido. Con muchos vehiculos aparece congestion y dismunuye la velocidad. Cuando la autopista esta saturada, algunos conductores buscan rutal alternas.
De Forma similar en un sistemas de colas las tasas de llegada y servicio pueden variar según la cantidad de clientes presentes.
Analogia con sistemas de nacimiento y muerte
Los sistemas dependientes de estado tambien se conocen como sistemas de nacimiento y muerte debido a su similitud con modelos poblacionales.
Nacimientos
En la poblacion es Nacimientos y en las colas es λ_n.
Muertes
representan las salidas del sistema:
- En poblacion, Muertes.
- En colas, servicios completados μ_n.
Deduccion de probabilidades de estado
Principio de Balance
El analisis se basa en el principio de balance de flujo, en estado estable, la tasa de entradas a yun estado debe ser igual a la tasa de salidas de ese estado.
Desarrollo de formula
Estado 0, el equilibrio entre entradas y salidas.
$\mu_1 \pi_1 = \lambda_0 \pi_0$
Despejado
$\mu_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0$
Clase 8 - M/G/1 y M/D/1
M/G/1
- Llegadas Poisson.
- Tiempo de servicio General
- 1 Solo servidor Surge porque el modelo M/M/1 asume tiempos exponenciales, algo que no es realista en muchos sistemas.
Condicion de estabilidad
$\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$
ρ representa el porcentaje de tiempo que el servidor esta ocupado.
Formula
Permite calcular clientes esperados y tiempo esperado en el sistema
$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho}) [1 - \frac{\rho}{2} (1 - \mu^2 o^2)]$
Interpretacion μ^2 o^2
Equivale a CV^2 (coeficiente de variacion al cuadrado).
Donde si:
- CV^2 = 1, comportamiento M/M/1.
- CV^2 = 0, servicio deterministico M/D/1.
- CV^2 > 1, mucha variabilidad, peores colas.
M/D/1
- Llegadas Poisson.
- Tiempo de servicio deterministico.
- 1 servidor.
es el sistema más eficiente para un solo servidor.
$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho})(1 - \frac{\rho}{2})$
Sistemas sin interrupcion
Es un sistema que termina un gtrabajo antes de empezar uno con prioridad más alta.
$W_1 = W_0 + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$
$Wq_1 = W_0 + \frac{Q_1}{\mu_1}$
Sistemas con interrupcion
Si llega alguien de prioridad alta se interrumpe inmediatamente el trabajo actual y el nuevo cliente toma el servidor.
$W_1 = W_{01} + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$
Inanicion
Clientes/procesos de baja prioridad nunca reciben atención porque siempre llegan otros más prioritarios.
El sistema sigue funcionando pero abandona gente en la cola eternamente. Literal skill issue del scheduler.