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#+title: Tercera Clase
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#+options: num:1
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* Correccion de los ejercicios de la clase anterior
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- [X] 14
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- [X] 15
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- [ ] 17
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* Graficacion de funciones
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- [ ] 24
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- [ ] 25
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- [X] 28
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\begin{center}
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$f(x, y) = 1 + 2x^2 + 2y^2$
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$Z-1 = 2x^2 + 2y^2$
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\end{center}
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Es un *paraboloide*.
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- [ ] 29
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- [X] 30
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\begin{center}
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$f(x, y) = \sqrt{4x^4 + y^2}$
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\end{center}
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Es un *cono* solo positivo.
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* Curvas de nivel
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- [ ] 43
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- [ ] 47
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- [X] 49
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- [ ] 53
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* Limites: doble, sucesivos y radiales
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** Limites y continuidad
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Cuando ambos X e Y tienden a 0. Pero notese que ninguna de las funciones estan definidas en (0, 0)
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\begin{center}
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$\frac{sen(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$
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\end{center}
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\begin{center}
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$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
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\end{center}
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Lo que vamos a calcular es: \lim_{(x;y) \to (0,0)} f(x, y)
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** Definicion
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Para indicar que los valores en (x, y) se aproximan a (a, b) se utiliza la notacion
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\begin{center}
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$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = L$
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\end{center}
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*** 1
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Si la funcion no esta definida por tramos y no hay indeterminacion el limite se calcula reemplando (x, y) por (a, b) em ña exŕesopm de ña dimcopm
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*** 2
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si la funcion esta definida por tramos o hay indeterminacion. Pero ¿como calcular un limite doble cuando hay indeterminacion?
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Existen 3 formas
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- Tratar de salvar algebraicamente la indeteminacion (es decir, factorizando la expresion en f).
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- Separar las variables X e Y de manera tal que f puede escribirse como suma, producto o divicion de dos funciones, Una con la variable *X* y la otra en la varianle *Y* Luego se calcula un limite en las funciones de una variable.
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- Si no es posible aplicar los passos anteiores, tratar de expresar g como producto de una funciones acotada por otra que tiende a 0
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** Limites Iterados
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Consiste en aproximarse por medio de textas paralelas a los ejes coordenados.
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\begin{center}
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$L_1_2 = \lim_{x \to a} \( \lim_{y \to b} f(x, y)$
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$L_2_1 = \lim_{y \to b} \( \lim_{x \to a} f(x, y)$
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\end{center}
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- Si ambos existen y son distintos no hay limite.
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- Si ambos son iguales ( L_1_2 = L_2_1 ) o uno de los dos no existe no se puede confirmar nada.
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*** Metodo
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\begin{equation}
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$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
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\end{equation}
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\begin{center}
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$L_1_2 = \lim_{x \to 0} \( \lim_{y \to 0} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})$
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$ = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 0}{x^2 + 0} = \frac{1}{1}$
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$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1} = 1$
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\end{center}
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Ahora voy a chequear el otro iterado
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\begin{center}
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$L_2_1 = \lim_{y \to 0} \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})$
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$ = \lim_{y \to 0} \frac{0 - y^2}{0 + y^2} = -\frac{1}{1}$
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$\lim_{y \to 0} \frac{-1}{1} = -1$
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\end{center}
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No es lo mismo L_1_2 que L_2_1 por lo que *No hay limite*.
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** Limites Radiales
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#+begin_quote
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_Se usa cuando los limites iterados fallan._
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#+end_quote
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consiste aproximarse al punto (a, b) mediante el uso de una pendiente *m*.
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\begin{center}
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$\lim_{x \to a} f(x, m(x - a) + b)$
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\end{center}
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Si al reemplazar y por *x(x - a) + b* el limite existe y depende de m entonces se concluye que el limite doble no existe.
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*** ejercicio
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\begin{equation}
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$\lim_{(x,y} \to (0,0)} f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$
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\end{equation}
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\begin{center}
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$L_1_2 = \lim_{x \to 0} \( \lim_{y \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2})$
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$ = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^2 + 0} = \frac{0}{0} = 0$
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\end{center}
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Ahora probamos con L_2_1
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\begin{center}
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$L_2_1 = \lim_{y \to 0} \( \lim_{x \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2})$
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$ = \lim_{y \to 0} \frac{0}{0 + y^2} = \frac{0}{0} = 0$
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\end{center}
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Dado que L_1_2 = L_2_1 no podemos definir nada, por eso pasamos a usar limites radiales
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_Sea y = m(x - 0) + 0_
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\begin{center}
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$f(x, m(x - 0) + 0 = $
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$\frac{x \cdot mx}{x^2 + (mx)^2}$
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$\frac{mx^2}{x^2 + m^2x^2}$
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$\frac{mx^2}{x^2 (1 + m^2)}$
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$\frac{ m }{1 + m ^ 2}$
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\end{center}
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Como la funcion depende de *m* no existe limite.
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** Por Curvas
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Consiste en hacer tender el punto (x, y) al punto (a, b) por medio de curvas dentro del dominio de f. Algunas de las curvas que se pueden usar son:
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\begin{center}
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$y = m(x - a)^n + 0$
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\end{center}
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*Hacer pagina 17 de las diapositivas clase 3*
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