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#+title: Trabajo Practico 2 - Matematicas Discretas
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#+author: Martin Luraschi, Luca Troiano, Roy Herrera, Federico Polidoro
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#+options: num:nil toc:nil
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* 1. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación derecurrencia a_n = n a_{n-1}.
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* 2. - Dar los primeros seis términos de una sucesión de términos positivos que verifique la relación de recurrencia a_n = a_{n-1} / a_{n-2}.
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* 3. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = a_{n-1} + n^2.
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1. a^1 = a^{1-1} + 1^2 = 1 + 1 = 2
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2. a^2 = a^{2-1} + 2^2 = 2 + 4 = 6
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3. a^3 = a^{3-1} + 3^2 = 6 + 9 = 15
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4. a^4 = a^{4-1} + 4^2 = 15 + 16 = 31
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5. a^5 = a^{5-1} + 5^2 = 31 + 25 = 56
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* 4. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = r a_{n-1}.
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1. a^1 = r * a^{1-1} = r*1 = r
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2. a^2 = r * a^{2-1} = r*r = r^2
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3. a^3 = r * a^{3-1} = r*r^2 = r^3
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4. a^4 = r * a^{4-1} = r*r^3 = r^4
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5. a^5 = r * a^{5-1} = r*r^4 = r^5
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* 5. - Dar los primeros cinco términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_{n-2}.
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1. a_1 = (1+1)a_{1-2} = 2 * a_{-1}
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2. a_2 = (2+1)a_{2-2} = 3 * a_{0}
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3. a_3 = (3+1)a_{3-2} = 4 * a_{1}
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4. a_4 = (4+1)a_{4-2} = 5 * a_{2}
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5. a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * a_{3}
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Esto verifica que hay una relacion de recurrencia porque todas los posibles terminos a_n siempre van a incluir un a_{n-2} vease si extiendo el a_5
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\begin{center}
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a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * a_{3} = 6 * 4 * a_{1} = 6 * 4 * 2 * a_{-1} = ...
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\end{center}
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* 6. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = (n+1)a_{n-2} tal que a_0 = 2.
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0. a_0 = 1 * a_{-2} = 2
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1. a_1 = (1+1)a_{1-2} = 2 * a_{-1}
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2. a_2 = (2+1)a_{2-2} = 3 * 2 = 6
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3. a_3 = (3+1)a_{3-2} = 4 * a_1
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4. a_4 = (4+1)a_{4-2} = 5 * 6 = 30
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5. a_5 = (5+1)a_{5-2} = 6 * 4 * a_1
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* 7. - Dar los primeros seis términos de una sucesión que verifique la relación de recurrencia a_n = n a_{n-1} tal que a_3 = 18.
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1. a_2 = 6
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2. a_3 = 3 * a_{3-1} = 18
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3. a_4 = 4 * a_{4-1} = 4 * 18 = 72
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4. a_5 = 5 * a_{5-1} = 5 * 72 = 360
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5. a_6 = 6 * a_{6-1} = 6 * 360 = 2160
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6. a_7 = 7 * a_{7-1} = 7 * 2160 = 15120
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* 8. - Resolver las relaciones de recurrencia
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- a. a_n-2/3 a_{n-1} = 0, n \geq 1; a_0 = -1
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- b. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n \geq 0; a_0 = 1
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- c. 2 a_n+1-3 a_n = 0, n \geq 0; a_0 = -2
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- d. a_n+1 - 5a_n + 6a_{n-1} = 0 n \geq 1; a_0 = 0, a_1 = 2
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- e. a_n+1 = 4a_n - 5a_{n-1}, n \geq 1; a_0 = -1, a_1 = 3
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- f. a_n = 4 a_{n-1} - 4a_{n-2}, n \geq 2; a_0 = 6, a_1 = 8
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- g. a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}, n \geq 2; a_0 = 1, a_1 = 2
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* 9. - Dada la relación de recurrencia 8 a_{n+2} + 4 a_{n+1} - 4 a_n = 0. n \leq 0; Indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:
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- a. a_n = 3 (-1)^n
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- b. a_n = 3 (-1/2)^n +1
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- c. a_n = 4 (-1)^n + (1/2)^n
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- d. a_n = -4 (1)^n + (1/2)^n
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En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.
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* 10 - Dada la relación de recurrencia a_{n+2} − a_n = 0, indicar si las siguientes sucesiones pueden ser solución:
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- a. a_n = 3(−1)^n
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- b. a_n = 3(−1/2)^n + 1
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- c. a_n = 7 + 2(−1)^n
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- d. a_n = 1/3 2^n
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- e. a_n = −8
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En caso afirmativo, justificar e indicar cuáles serían las condiciones iniciales que hay que imponer para obtener dicha solución. En caso negativo, justificar.
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* 13 - Una inversión de $100 iniciales recibe un interés de 10% anual, capitalizado mensualmente. Plantear una relación de recurrencia para calcular el dinero acumulado al cabo de n meses.
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La ecuación de recurrencia necesaria para calcular la ganancia de dinero luego de n meses es:
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r = 0.1/12
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r = 0.00833
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a^n = {1+r} * a^{n-1}
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Hay que tener en cuenta que a^0 = 100
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* 18 - Hallar una relación de recurrencia para a_n, el número de formas de avanzar n metros dando pasos de 1 o 2 metros. Resolverla.
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La relación de recurrencia, en este caso, será:
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\begin{center}
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a^n = a^(n-1) + a^(n-2)
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\end{center}
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Se considerará que a^0 = 1, debido a que, como no hay mas metros que avanzar, la única opción para llegar a destino es no moverse También se considerará que a^1 = 1, debido a que la única opción para llegar a destino es avanzar 1 metro De acuerdo con lo anterior podemos resolver la secuencia planteada
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2. a^2 = a^(2-1) + a^(2-2) = 1 + 1 = 2
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3. a^3 = a^(3-1) + a^(3-2) = 2 + 1 = 3
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4. a^4 = a^(4-1) + a^(4-2) = 3 + 2 = 5
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5. a^5 = a^(5-1) + a^(5-2) = 5 + 3 = 8
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6. a^6 = a^(6-1) + a^(6-2) = 8 + 5 = 13
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* 24 - Resolver las siguientes relaciones de recurrencias no homogéneas
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- a. a_n - 3a_{n-1} = 5 7^n; a_0 = 2.
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- b. a_{n+1} = a_n + 2^n; a_0 = 0.
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- c. a_n = a_{n-1} + 3; a_0 = 1.
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- d. a_{n+1} + 2a_n + a_{n-1} = n; a_0 = 1, a_1 = -1.
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* 25 - Un préstamo de $2500 se debe pagar en cuotas fijas mensuales de $300, con un interés mensual de 8%. Si an es el dinero adeudado en el mes n, plantear una relación de recurrencia para an. ¿En cuántos meses se saldará la deuda?
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