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@@ -155,3 +155,320 @@ Diseñados para simulación, como GPSS, Simula o Arena.
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- Discreta: cambios por eventos.
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- Continua: cambios continuos mediante ecuaciones diferenciales.
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- Mixta: combina ambas.
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* Clase 5 - Teoria de colas parte 1
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** ¿Que es la teoria de colas?
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Esta consiste en un estudio matematico de los sistemas de espera para optimizar recursos y reducir tiempos de demora.
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** Origen
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Fue desarrollado en 1909 al analizar la congestion de llamas telefonicas en copenhague.
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** Elementos
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Tiene 3 elementos basicos
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- Clientes: Quienes solicitan el servicio.
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- Area de espera: Lugar fisico o cirtual donde esperan.
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- Servidores: quienes brindan el servicio.
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** Notacion de Kendall
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Describe sistemas de colas de forma compacta:
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*** Formato
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`A / B /C `
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donde:
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- A, distribucion de llegadas.
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- B, distribucion de servicio.
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- c, cantidad de servidores.
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*** Tipos de principales
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- M, markoviana (Poisson/exponencial).
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- D, Deterministica.
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- G, General.
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*** Ejemplos
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- M/M/1, llegadas Poisson, servicio exponencial y 1 servidor.
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- M/M/c, varios servidores.
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- M/D/1, servicio constante.
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- D/D/1, llegadas y servicios contantes.
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*** Disciplinas de servicio
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- FIFO, primero en llegar, primero en salir.
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- LIFO, ultimo en llegar, primero en salir.
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- Prioridad, atencion según importancia.
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** Sistemas M/M/1
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Es el modelo más basicos para modelar.
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*** Caracteristicas
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- Llegadas Poisson.
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- Servicio exponencial.
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- Un solo servidor.
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- Cola FIFO.
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- Entradas y salidas independientes.
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*** Parametros Importantes
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- Tasa de arrivos
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$\lambda$
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Consiste en la cantidad promedio de clientes que llegan por unidad de tiempo.
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- Tasa de servicio
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$\mu$
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Es la cantidad promedio de clientes que el servidor atiende cada una unidad de tiempo
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- Tiempo medio de servicio
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$T_s = \frac{1}{\mu}$
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*** Factor de utilizacion
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$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$
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indica que tan ocupado esta el servidor.
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- $\rho < 0.5$ sistema subutilizado.
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- $0.5 \leq \rho < 0.8$ funcionamiento optimo.
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- $\rho$ cercano a 1: colas largas.
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- $\rho \geq 1$: congestion.
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Si llegan más clientes que lo que la cola puede atender, la cola crece indefinidamente.
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*** Probabilidad de Estado
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Es la probablidad de tener exactamente n clientes en el sistema
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$pi_n = \rho^n (1 - \rho)$
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teniendo en cuenta que:
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- \pi_0 = sistema vacio.
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- \pi_1 = un cliente.
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- \pi_2 = dos clientes.
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*** Numero medio de clientes
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Cantidad promedio de clientes en el sistema:
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$N = \frac{\rho}{1 - \rho}$
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Cuando \rho se acerca a 1, el numero de clientes crece muchísimo.
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*** Equilibrio y Congestión
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Un *Sistema Estable* Ocurre cuando:
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$\lambda < \mu$
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#+begin_quote
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El sistema puede atender a los clientes sin que la cola crezca infinitamente.
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#+end_quote
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Mientras tanto un *Sistema Congestionado*:
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$\rho \geq 1$
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#+begin_quote
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la cola tiende a infinito.
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#+end_quote
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** Ecuacion de estado estable
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Relaciona probab lidades entre estados consecutivos.
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$\rho * \pi_{n-1} = \pi_n$
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** Teorema de Little
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relaciona la cantidad promedio de cleintes, junto con la tasa de llegada y el tiempo promedio del sistema $N = \lambda W$.
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Donde:
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- N: clientes promedio en el sistema.
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- \lambda : tasa de llegadas.
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- W: tiempo promedio de permanencia.
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*** Variantes
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- $Q = \lambda Wq$. clientes en cola.
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- $N_s = \lambda Ts$. clientes siendo atendidos.
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* Clase 6 - Teoria de colas parte 2
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** M/M/1/N
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Son modelos de colas en los cuales:
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- Llegadas aleatorias tipo Poisson.
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- Tiempos de servicio exponenciales.
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- Un unico servidor.
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- Capacidad maxima finita de N clientes.
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A diferencia del modelo M/M/1 un M/M/1/N los clientes pueden ser rechazados cuando el sistema esta lleno.
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** Caracteristicas Principales
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Componentes del modelo:
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- M: llegadas de poisson.
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- M: Servicio exponencial.
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- 1: un servidor.
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- N: capacidad maxima del sistema.
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Funcionamiento:
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- Si el sistema tiene menos de N clientes, el nuevo cliente entra.
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- Si el sistema está lleno (n = N), el cliente es rechazado.
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Propiedades:
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- llegadas de Poisson.
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- Servicio Exponencial.
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- Un unico servidor.
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- Disciplina FIFO.
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- Independencia entre entradas y salidas.
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- Capacidad Limitada.
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*** Aplicaciones
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El modelo M/M/1/N se utiliza en sistemas con capacidad fisica limitada.
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Ejemplos:
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- Sala de espera medicas.
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- Routers.
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- Centrales telefonicas.
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- Estacionemientos.
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- Ascensores.
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- Plataformas de streaming.
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En todos los casos existe un limite de capacidad y posibilidad de bloqueo.
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** Probabilidad de Bloqueo
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La probablidad de bloqueo (P_B) representa la probabilidad de que u cliente llegue y encuentre el sistma lleno.
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$P_B = \pi_N = \frac{\rho^N (1 - \rho)}{1 - \rho^{N + 1}}$
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Donde:
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- $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$.
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- \lambda Tasa de llegada.
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- \mu tasa de servicio.
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- N, capacidad maxima.
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Un P_B bajo significa que no hay muchos clientes rechazados mientras que uno alto es que se rechazan muchos clientes.
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** Tasa de rechazo
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Indica cuantos cliente son rechazados por unidad de tiempo.
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$\tau = \lambda * P_B$
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** Rendimiento del Sistema
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Es la tasa efectiva de clientes atendidos.
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Rendimiento de entrada:
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$\gamma = \lambda (1 - P_B)$
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Rendimiento de salida:
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$\gamma = \mu (1 - \pi_0)$
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** Deduccion de la formula de Probablidad
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En un Modelo M/M/1/N solo existen los estados:
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#+begin_center
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$n = 0,1,2,...,N$
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#+end_center
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Por esto la distribucion de probabilidad debe corregirse para que la suma total sea 1.
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** Comparación con M/M/1
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| Caracteristicas | M/M/1 | M/M/1/n |
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|------------------------+-------------------+------------------|
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| Capacidad | Infinita | Finita |
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| Rechazo | No | Si |
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| Probablidad de bloqueo | 0 | x>0 |
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| Estados | Infinitos | 0 a N |
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| Rendimiento | \gamma = \lambda | \gamma < \lambda |
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| Estabilidad | Requoiere \rho <1 | Siempre estable |
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** Ventajas del Modelo M/M/1/N
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- Representa sistemas reales con límites físicos.
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- Permite calcular pérdidas por rechazo.
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- Ayuda al dimensionamiento de capacidad.
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- Evita crecimiento infinito de colas.
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** Desventajas
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- Puede generar pérdida de clientes.
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- Afecta la reputación del servicio.
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- Requiere cálculos más complejos.
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- Definir capacidad adecuada puede ser difícil.
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* Clase 7 - Teoria de colas parte 3
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Introduccion a los sistemas dependientes de estado, Estos son modelos de colas donde las tasas de llegadaa y servicio no son constantes, sino que cambian segun la cantidad de clientes presentes en el sistema.
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En estos sistemas \lambda_n representa la tasaq de arrivos cuando hay n clientes. y \mu_n representa la tasa de servicio cuando hay n clientes.
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** Concepto de Dependencia
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En estos modelos, las condiciones del sistema responde dinamicamente al estado actual.
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por ejemplo:
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En una autopista, el transito es fluido y rapido. Con muchos vehiculos aparece congestion y dismunuye la velocidad. Cuando la autopista esta saturada, algunos conductores buscan rutal alternas.
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De Forma similar en un sistemas de colas las tasas de llegada y servicio pueden variar según la cantidad de clientes presentes.
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** Analogia con sistemas de nacimiento y muerte
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Los sistemas dependientes de estado tambien se conocen como sistemas de nacimiento y muerte debido a su similitud con modelos poblacionales.
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*** Nacimientos
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En la poblacion es Nacimientos y en las colas es \lambda_n.
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*** Muertes
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representan las salidas del sistema:
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- En poblacion, Muertes.
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- En colas, servicios completados \mu_n.
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** Deduccion de probabilidades de estado
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*** Principio de Balance
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El analisis se basa en el principio de balance de flujo, en estado estable, la tasa de entradas a yun estado debe ser igual a la tasa de salidas de ese estado.
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*** Desarrollo de formula
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Estado 0, el equilibrio entre entradas y salidas.
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$\mu_1 \pi_1 = \lambda_0 \pi_0$
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Despejado
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$\mu_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0$
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* Clase 8 - M/G/1 y M/D/1
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** M/G/1
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- Llegadas Poisson.
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- Tiempo de servicio General
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- 1 Solo servidor
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Surge porque el modelo M/M/1 asume tiempos exponenciales, algo que no es realista en muchos sistemas.
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*** Condicion de estabilidad
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$\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$
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\rho representa el porcentaje de tiempo que el servidor esta ocupado.
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*** Formula
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Permite calcular clientes esperados y tiempo esperado en el sistema
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$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho}) [1 - \frac{\rho}{2} (1 - \mu^2 o^2)]$
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*** Interpretacion \mu^2 o^2
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Equivale a CV^2 (coeficiente de variacion al cuadrado).
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Donde si:
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- CV^2 = 1, comportamiento M/M/1.
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- CV^2 = 0, servicio deterministico M/D/1.
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- CV^2 > 1, mucha variabilidad, peores colas.
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** M/D/1
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- Llegadas Poisson.
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- Tiempo de servicio deterministico.
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- 1 servidor.
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es el sistema más eficiente para un solo servidor.
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$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho})(1 - \frac{\rho}{2})$
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** Sistemas sin interrupcion
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Es un sistema que termina un gtrabajo antes de empezar uno con prioridad más alta.
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$W_1 = W_0 + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$
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$Wq_1 = W_0 + \frac{Q_1}{\mu_1}$
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** Sistemas con interrupcion
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Si llega alguien de prioridad alta se interrumpe inmediatamente el trabajo actual y el nuevo cliente toma el servidor.
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$W_1 = W_{01} + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$
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** Inanicion
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Clientes/procesos de baja prioridad nunca reciben atención porque siempre llegan otros más prioritarios.
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El sistema sigue funcionando pero abandona gente en la cola eternamente. Literal skill issue del scheduler.
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