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@@ -155,3 +155,320 @@ Diseñados para simulación, como GPSS, Simula o Arena.
 - Discreta: cambios por eventos.
 - Continua: cambios continuos mediante ecuaciones diferenciales.
 - Mixta: combina ambas.
 * Clase 5 - Teoria de colas parte 1
 ** ¿Que es la teoria de colas?
 Esta consiste en un estudio matematico de los sistemas de espera para optimizar recursos y reducir tiempos de demora.
 ** Origen
 Fue desarrollado en 1909 al analizar la congestion de llamas telefonicas en copenhague.
 ** Elementos
 Tiene 3 elementos basicos
 - Clientes: Quienes solicitan el servicio.
 - Area de espera: Lugar fisico o cirtual donde esperan.
 - Servidores: quienes brindan el servicio.
 ** Notacion de Kendall
 Describe sistemas de colas de forma compacta:
 *** Formato
 `A / B /C `
 donde:
 - A, distribucion de llegadas.
 - B, distribucion de servicio.
 - c, cantidad de servidores.
 *** Tipos de principales
 - M, markoviana (Poisson/exponencial).
 - D, Deterministica.
 - G, General.
 *** Ejemplos
 - M/M/1, llegadas Poisson, servicio exponencial y 1 servidor.
 - M/M/c, varios servidores.
 - M/D/1, servicio constante.
 - D/D/1, llegadas y servicios contantes.
 *** Disciplinas de servicio
 - FIFO, primero en llegar, primero en salir.
 - LIFO, ultimo en llegar, primero en salir.
 - Prioridad, atencion según importancia.
 ** Sistemas M/M/1
 Es el modelo más basicos para modelar.
 *** Caracteristicas
 - Llegadas Poisson.
 - Servicio exponencial.
 - Un solo servidor.
 - Cola FIFO.
 - Entradas y salidas independientes.
 *** Parametros Importantes
 - Tasa de arrivos
  $\lambda$
  Consiste en la cantidad promedio de clientes que llegan por unidad de tiempo.
 - Tasa de servicio
  $\mu$
  Es la cantidad promedio de clientes que el servidor atiende cada una unidad de tiempo
 - Tiempo medio de servicio
  $T_s = \frac{1}{\mu}$
 *** Factor de utilizacion
 $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$
 indica que tan ocupado esta el servidor.
 - $\rho < 0.5$ sistema subutilizado.
 - $0.5 \leq \rho < 0.8$ funcionamiento optimo.
 - $\rho$ cercano a 1: colas largas.
 - $\rho \geq 1$: congestion.
 Si llegan más clientes que lo que la cola puede atender, la cola crece indefinidamente.
 *** Probabilidad de Estado
 Es la probablidad de tener exactamente n clientes en el sistema
 $pi_n = \rho^n (1 - \rho)$
 teniendo en cuenta que:
 - \pi_0 = sistema vacio.
 - \pi_1 = un cliente.
 - \pi_2 = dos clientes.
 *** Numero medio de clientes
 Cantidad promedio de clientes en el sistema:
 $N = \frac{\rho}{1 - \rho}$
 Cuando \rho se acerca a 1, el numero de clientes crece muchísimo.
 *** Equilibrio y Congestión
 Un *Sistema Estable* Ocurre cuando:
 $\lambda < \mu$
 #+begin_quote
 El sistema puede atender a los clientes sin que la cola crezca infinitamente.
 #+end_quote
 Mientras tanto un *Sistema Congestionado*:
 $\rho \geq 1$
 #+begin_quote
 la cola tiende a infinito.
 #+end_quote
 ** Ecuacion de estado estable
 Relaciona probab lidades entre estados consecutivos.
 $\rho * \pi_{n-1} = \pi_n$
 ** Teorema de Little
 relaciona la cantidad promedio de cleintes, junto con la tasa de llegada y el tiempo promedio del sistema $N = \lambda W$.
 Donde:
 - N: clientes promedio en el sistema.
 - \lambda : tasa de llegadas.
 - W: tiempo promedio de permanencia.
 *** Variantes
 - $Q = \lambda Wq$. clientes en cola.
 - $N_s = \lambda Ts$. clientes siendo atendidos.
 * Clase 6 - Teoria de colas parte 2
 ** M/M/1/N
 Son modelos de colas en los cuales:
 - Llegadas aleatorias tipo Poisson.
 - Tiempos de servicio exponenciales.
 - Un unico servidor.
 - Capacidad maxima finita de N clientes.
 A diferencia del modelo M/M/1 un M/M/1/N los clientes pueden ser rechazados cuando el sistema esta lleno.
 ** Caracteristicas Principales
 Componentes del modelo:
 - M: llegadas de poisson.
 - M: Servicio exponencial.
 - 1: un servidor.
 - N: capacidad maxima del sistema.
 Funcionamiento:
 - Si el sistema tiene menos de N clientes, el nuevo cliente entra.
 - Si el sistema está lleno (n = N), el cliente es rechazado.
 Propiedades:
 - llegadas de Poisson.
 - Servicio Exponencial.
 - Un unico servidor.
 - Disciplina FIFO.
 - Independencia entre entradas y salidas.
 - Capacidad Limitada.
 *** Aplicaciones
 El modelo M/M/1/N se utiliza en sistemas con capacidad fisica limitada.
 Ejemplos:
 - Sala de espera medicas.
 - Routers.
 - Centrales telefonicas.
 - Estacionemientos.
 - Ascensores.
 - Plataformas de streaming.
 En todos los casos existe un limite de capacidad y posibilidad de bloqueo.
 ** Probabilidad de Bloqueo
 La probablidad de bloqueo (P_B) representa la probabilidad de que u cliente llegue y encuentre el sistma lleno.
 $P_B = \pi_N = \frac{\rho^N (1 - \rho)}{1 - \rho^{N + 1}}$
 Donde:
 - $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$.
 - \lambda Tasa de llegada.
 - \mu tasa de servicio.
 - N, capacidad maxima.
 Un P_B bajo significa que no hay muchos clientes rechazados mientras que uno alto es que se rechazan muchos clientes.
 ** Tasa de rechazo
 Indica cuantos cliente son rechazados por unidad de tiempo.
 $\tau = \lambda * P_B$
 ** Rendimiento del Sistema
 Es la tasa efectiva de clientes atendidos.
 Rendimiento de entrada:
 $\gamma = \lambda (1 - P_B)$
 Rendimiento de salida:
 $\gamma = \mu (1 - \pi_0)$
 ** Deduccion de la formula de Probablidad
 En un Modelo M/M/1/N solo existen los estados:
 #+begin_center
 $n = 0,1,2,...,N$
 #+end_center
 Por esto la distribucion de probabilidad debe corregirse para que la suma total sea 1.
 ** Comparación con M/M/1
 | Caracteristicas        | M/M/1             | M/M/1/n          |
 |------------------------+-------------------+------------------|
 | Capacidad              | Infinita          | Finita           |
 | Rechazo                | No                | Si               |
 | Probablidad de bloqueo | 0                 | x>0              |
 | Estados                | Infinitos         | 0 a N            |
 | Rendimiento            | \gamma = \lambda  | \gamma < \lambda |
 | Estabilidad            | Requoiere \rho <1 | Siempre estable  |
 ** Ventajas del Modelo M/M/1/N
 - Representa sistemas reales con límites físicos.
 - Permite calcular pérdidas por rechazo.
 - Ayuda al dimensionamiento de capacidad.
 - Evita crecimiento infinito de colas.
 ** Desventajas
 - Puede generar pérdida de clientes.
 - Afecta la reputación del servicio.
 - Requiere cálculos más complejos.
 - Definir capacidad adecuada puede ser difícil.
 * Clase 7 - Teoria de colas parte 3
 Introduccion a los sistemas dependientes de estado, Estos son modelos de colas donde las tasas de llegadaa y servicio no son constantes, sino que cambian segun la cantidad de clientes presentes en el sistema.
 En estos sistemas \lambda_n representa la tasaq de arrivos cuando hay n clientes. y \mu_n representa la tasa de servicio cuando hay n clientes.
 ** Concepto de Dependencia
 En estos modelos, las condiciones del sistema responde dinamicamente al estado actual.
 por ejemplo:
 En una autopista, el transito es fluido y rapido. Con muchos vehiculos aparece congestion y dismunuye la velocidad. Cuando la autopista esta saturada, algunos conductores buscan rutal alternas.
 De Forma similar en un sistemas de colas las tasas de llegada y servicio pueden variar según la cantidad de clientes presentes.
 ** Analogia con sistemas de nacimiento y muerte
 Los sistemas dependientes de estado tambien se conocen como sistemas de nacimiento y muerte debido a su similitud con modelos poblacionales.
 *** Nacimientos
 En la poblacion es Nacimientos y en las colas es \lambda_n.
 *** Muertes
 representan las salidas del sistema:
 - En poblacion, Muertes.
 - En colas, servicios completados \mu_n.
 ** Deduccion de probabilidades de estado
 *** Principio de Balance
 El analisis se basa en el principio de balance de flujo, en estado estable, la tasa de entradas a yun estado debe ser igual a la tasa de salidas de ese estado.
 *** Desarrollo de formula
 Estado 0, el equilibrio entre entradas y salidas.
 $\mu_1 \pi_1 = \lambda_0 \pi_0$
 Despejado
 $\mu_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0$
 * Clase 8 - M/G/1 y M/D/1
 ** M/G/1
 - Llegadas Poisson.
 - Tiempo de servicio General
 - 1 Solo servidor
  Surge porque el modelo M/M/1 asume tiempos exponenciales, algo que no es realista en muchos sistemas.
 *** Condicion de estabilidad
 $\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$
 \rho representa el porcentaje de tiempo que el servidor esta ocupado.
 *** Formula
 Permite calcular clientes esperados y tiempo esperado en el sistema
 $E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho}) [1 - \frac{\rho}{2} (1 - \mu^2 o^2)]$
 *** Interpretacion \mu^2 o^2
 Equivale a CV^2 (coeficiente de variacion al cuadrado).
 Donde si:
 - CV^2 = 1, comportamiento M/M/1.
 - CV^2 = 0, servicio deterministico M/D/1.
 - CV^2 > 1, mucha variabilidad, peores colas.
 ** M/D/1
 - Llegadas Poisson.
 - Tiempo de servicio deterministico.
 - 1 servidor.
 es el sistema más eficiente para un solo servidor.
 $E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho})(1 - \frac{\rho}{2})$
 ** Sistemas sin interrupcion
 Es un sistema que termina un gtrabajo antes de empezar uno con prioridad más alta.
 $W_1 = W_0 + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$
 $Wq_1 = W_0 + \frac{Q_1}{\mu_1}$
 ** Sistemas con interrupcion
 Si llega alguien de prioridad alta se interrumpe inmediatamente el trabajo actual y el nuevo cliente toma el servidor.
 $W_1 = W_{01} + \frac{Q_1 + 1}{\mu_1}$
 ** Inanicion
 Clientes/procesos de baja prioridad nunca reciben atención porque siempre llegan otros más prioritarios.
 El sistema sigue funcionando pero abandona gente en la cola eternamente. Literal skill issue del scheduler.