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Resumen Segundo Parcial

• M/G/1
  • Condicion de estabilidad
  • Formula
  • Interpretacion μ^2 o^2
• Sistema M/M/2
  • Definición
  • Notación de Kendall
  • Características
    • Servidores iguales
    • FIFO
    • Diferencia con 2·(M/M/1)
      • M/M/2
      • 2·(M/M/1)
  • Condición de estabilidad
  • ¿Para qué sirve?
    • Optimización de recursos
    • Análisis de rendimiento
    • Mejora continua
    • Aplicaciones
  • Ventajas
  • Desventajas
  • Fórmulas principales
    • Parámetros base
    • Número esperado en el sistema
    • Tiempo esperado en el sistema
    • Teorema de Little
  • M/M/1 vs M/M/2
    • Ejemplo
      • Datos
      • M/M/1
      • M/M/2
  • M/M/2 con servidores distintos
    • Caso
    • Fórmulas
    • Ventajas
    • Problema
• Sistemas con Prioridades
  • Sistema sin interrupción (Non-Preemptive)
  • Sistema con interrupción (Preemptive)
  • Inanición (Starvation)
• Sistemas Complejos
  • Características principales
  • Propiedades fundamentales
    • Emergencia
    • No linealidad
    • Autoorganización
    • Adaptabilidad
  • Relación con teoría de colas

M/G/1

• Llegadas Poisson.
• Tiempo de servicio General
• 1 Solo servidor Surge porque el modelo M/M/1 asume tiempos exponenciales, algo que no es realista en muchos sistemas.

Condicion de estabilidad

$\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$

ρ representa el porcentaje de tiempo que el servidor esta ocupado.

Formula

Permite calcular clientes esperados y tiempo esperado en el sistema

$E(n) = (\frac{\rho}{1 - \rho}) [1 - \frac{\rho}{2} (1 - \mu^2 o^2)]$

Interpretacion μ^2 o^2

Equivale a CV^2 (coeficiente de variacion al cuadrado).

Donde si:

• CV^2 = 1, comportamiento M/M/1.
• CV^2 = 0, servicio deterministico M/D/1.
• CV^2 > 1, mucha variabilidad, peores colas.

Sistema M/M/2

Definición

• Modelo de teoría de colas con:

  • llegadas Poisson
  • tiempos de servicio exponenciales
  • 2 servidores en paralelo
  • una única cola

Notación de Kendall

Formato: A/B/s

• Primera M → arribos Markovianos (Poisson)
• Segunda M → servicios Markovianos (Exponencial)
• 2 → dos servidores

Características

• Llegadas aleatorias independientes
• Servicio exponencial
• Cola única compartida
• Disciplina FIFO
• Capacidad infinita
• Población infinita
• Dos servidores trabajando en paralelo

Servidores iguales

• Cada servidor atiende a tasa μ

• Servicio total:

  • μs = 2μ

• Intensidad de tráfico:

  • ρ = λ / (2μ)

FIFO

• Una sola fila
• El próximo cliente va al primer servidor libre

Diferencia con 2·(M/M/1)

M/M/2

• 1 cola
• 2 servidores compartidos

2·(M/M/1)

• 2 colas separadas
• cada servidor tiene su propia fila

M/M/2 es más eficiente.

Condición de estabilidad

Para que no colapse:

ρ = \frac{λ}{2μ} < 1

Entonces:

• λ < 2μ

¿Para qué sirve?

Optimización de recursos

• Reducir tiempos de espera
• Evitar servidores innecesarios

Análisis de rendimiento

• Detectar cuellos de botella
• Medir utilización
• Comparar escenarios

Mejora continua

• Evaluar cambios antes de implementarlos

• Decidir si conviene:

  • agregar servidores
  • aumentar velocidad
  • reorganizar la cola

Aplicaciones

• Bancos
• Supermercados
• Call centers
• Hospitales
• Sistemas informáticos
• Peajes
• Aeropuertos

Ventajas

• Fórmulas simples
• Fácil de analizar
• Permite planificación
• Muy aplicable
• Mayor tolerancia a fallos

Desventajas

• Supuestos poco realistas
• Ignora comportamiento humano
• No encuentra automáticamente la solución óptima
• No contempla eventos externos

Fórmulas principales

Parámetros base

• λ → tasa de llegadas
• μ → tasa de servicio de UN servidor
• μs = 2μ
• ρ = λ / (2μ)

Número esperado en el sistema

E(n)=\frac{2ρ}{1-ρ^2}

• Promedio de clientes esperando + siendo atendidos

Tiempo esperado en el sistema

E(T)=\frac{1}{μ(1-ρ^2)}

• Tiempo promedio dentro del sistema

Teorema de Little

N=λ W

• Relación entre:

  • clientes promedio
  • tasa de llegada
  • tiempo promedio

M/M/1 vs M/M/2

Característica	M/M/1	M/M/2
Servidores	1	2
Colas	1	1
Tráfico	λ/μ	λ/2μ
Espera	Mayor	Menor
Costo	Menor	Mayor
Estabilidad	λ < μ	λ < 2μ

Ejemplo

Datos

• λ = 8
• μ = 10

M/M/1

• ρ = 0.8
• E(T) = 30 min

M/M/2

• ρ = 0.4
• E(T) ≈ 7.1 min

M/M/2 con servidores distintos

Caso

• un servidor rápido
• otro lento

Fórmulas

μ_s = μ_1 + μ_2

ρ = \frac{λ}{μ_1+μ_2}

Ventajas

• solución rápida ante aumento de demanda
• menor costo
• buena transición temporal

Problema

• percepción de desigualdad:

  • algunos clientes avanzan más rápido que otros según el servidor asignado

Sistemas con Prioridades

Los sistemas con prioridades son modelos de colas en los que los clientes se clasifican según niveles de importancia o urgencia. El servidor no necesariamente atiende por orden de llegada, sino que selecciona primero a los clientes de mayor prioridad.

Las prioridades suelen organizarse en clases jerárquicas:

• Clase 1 → mayor prioridad
• Clase 2 → prioridad intermedia
• Clase 3 → menor prioridad

Cada clase posee su propia cola de espera. El servidor siempre selecciona clientes de la cola de mayor prioridad disponible.

Sistema sin interrupción (Non-Preemptive)

En este esquema, un cliente que ya está siendo atendido siempre finaliza su servicio. Aunque llegue un cliente de prioridad superior, el servidor no interrumpe la atención actual.

La prioridad únicamente afecta la selección del próximo cliente cuando el servidor queda libre.

Tiempo de espera en cola para clase 1:

W_q1=W_0+\frac{Q_1}{μ_1}

Tiempo total en el sistema para clase 1:

W_1=W_0+\frac{Q_1+1}{μ_1}

Características:

• No existe interrupción del servicio en curso
• Menor complejidad operativa
• Mayor estabilidad del procesamiento
• Los clientes prioritarios pueden seguir esperando si el servicio actual es largo

Sistema con interrupción (Preemptive)

En este esquema, si llega un cliente de prioridad superior, el servidor interrumpe inmediatamente al cliente actual y comienza a atender al nuevo cliente prioritario.

El cliente desplazado vuelve a la cola o reinicia el servicio según la política utilizada.

Tiempo de espera en cola para clase 1:

W_q1=W₀₁+\frac{Q_1}{μ_1}

Tiempo total en el sistema para clase 1:

W_1=W₀₁+\frac{Q_1+1}{μ_1}

Características:

• Minimiza la espera de clientes urgentes
• Aumenta la complejidad del sistema
• Puede producir sobrecarga por interrupciones frecuentes
• Puede perjudicar severamente a clases bajas

Inanición (Starvation)

La inanición ocurre cuando clientes de baja prioridad permanecen indefinidamente en espera debido a la llegada continua de clientes de mayor prioridad.

Consecuencias:

• Espera potencialmente infinita
• Falta de equidad
• Degradación del rendimiento global
• Bloqueo práctico de ciertas tareas

Mecanismos de mitigación:

• Aging
• Límites de interrupciones
• Cuotas mínimas de servicio
• Aumento dinámico de prioridad

Sistemas Complejos

Un sistema complejo es un conjunto de componentes interrelacionados cuya interacción genera comportamientos globales difíciles de predecir mediante el análisis individual de cada componente.

El comportamiento del sistema surge de las interacciones entre sus partes y no únicamente de las propiedades de cada elemento aislado.

Características principales

• Gran cantidad de componentes
• Interacciones simultáneas
• Dependencias mutuas
• Retroalimentación (feedback)
• Dinámica no lineal
• Adaptación continua
• Comportamiento emergente
• Sensibilidad a perturbaciones

Propiedades fundamentales

Emergencia

El sistema presenta propiedades globales que no existen en los componentes individuales.

No linealidad

Pequeñas variaciones pueden producir cambios desproporcionadamente grandes en el comportamiento global.

Autoorganización

El sistema puede generar orden interno sin control centralizado.

Adaptabilidad

El sistema modifica su comportamiento frente a cambios del entorno.

Relación con teoría de colas

Los sistemas complejos frecuentemente incorporan:

• múltiples colas,
• prioridades,
• asignación dinámica de recursos,
• interrupciones,
• competencia entre procesos.

La interacción entre estos elementos puede generar:

• congestión,
• cuellos de botella,
• propagación de fallos,
• inestabilidad,
• inanición,
• saturación sistémica.

La teoría de colas se utiliza para modelar y analizar partes específicas de estos sistemas, especialmente aquellas relacionadas con espera, utilización de recursos y rendimiento global.