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Resumen Parcial 2
- Intro
- El Modelo M/M/2: Eficiencia y Estructura
- Comparativa Estratégica: M/M/1 vs. M/M/2
- Servidores Heterogéneos y Selección de Servidor
- El Modelo M/G/1 y la Fórmula de Pollaczek-Khinchine
- Sistemas con Prioridades (No Expulsivos)
- Casos Prácticos y Modelización Numérica
Intro
El análisis de los sistemas de colas permite identificar cuellos de botella, optimizar recursos y mejorar la experiencia del usuario mediante la reducción de los tiempos de espera. Los hallazgos principales destacan que:
- Eficiencia del Sistema M/M/2
La transición de un sistema de servidor único (M/M/1) a uno doble con fila única reduce drásticamente el tiempo de permanencia, superando en eficiencia a la configuración de dos colas separadas.
- Impacto de la Variabilidad (M/G/1)
En sistemas con un solo servidor, la varianza del tiempo de servicio es un factor crítico; a mayor variabilidad, mayor es la longitud de la cola, incluso si la velocidad media se mantiene constante.
- Criterios de Intervención
La decisión de añadir servidores (especialmente si son de distinta velocidad) depende de un valor límite de utilización denominado "Rho Crítico" (ρ_c).
- Gestión de Prioridades
Los sistemas no expulsivos permiten dar atención preferencial a clases de clientes específicas sin interrumpir el servicio en curso.
El Modelo M/M/2: Eficiencia y Estructura
El modelo M/M/2 se define por tener arribos que siguen un proceso de Poisson, tiempos de servicio exponenciales y dos servidores que trabajan en paralelo atendiendo una fila única.
Características y Beneficios
- Detección de Cuellos de Botella: Permite identificar dónde se satura el proceso.
- Sensación de Equidad: Al utilizar una fila única, se evita la percepción de que otras filas avanzan más rápido, lo cual es común en sistemas de filas múltiples.
- Uso de Recursos: Maximiza la ocupación de los servidores, evitando que uno permanezca ocioso mientras el otro tiene clientes en espera.
Parámetros Críticos y Estabilidad
Para que el sistema sea estable, se debe cumplir la condición λ < 2μ (la tasa de llegadas debe ser menor a la capacidad total de servicio).
| Característica | M/M/1 | M/M/2 |
|---|---|---|
| Número de servidores | 1 | 2 |
| Intensidad de tráfico (ρ) | $\frac{\lambda}{\mu}$ | $\frac{\lambda}{2\mu}$ |
| Tiempo en el sistema (W) | $\frac{1}{(\mu(1-\rho))}$ | $\frac{1}{\mu(1-\rho^2)}$ |
| Tiempo de espera | Mayor | Menor |
Comparativa Estratégica: M/M/1 vs. M/M/2
La intervención en un sistema saturado es necesaria cuando las colas aumentan de forma sostenida o el servidor está cerca de su límite.
Diagnóstico de Intervención
- Sistema Aceptable: E(n) < 3 clientes.
- Necesita Intervención: E(n) > 5 clientes.
Caso de Ejemplo: Bajo una tasa de arribos λ = 8 y servicio μ = 10:
- En M/M/1, el tiempo medio en el sistema es de 30 minutos.
- Al pasar a M/M/2, el tiempo medio se reduce a 7.1 minutos.
Servidores Heterogéneos y Selección de Servidor
Cuando se dispone de un servidor rápido (μ_1) y uno lento (μ_2), la decisión de añadir el segundo servidor depende del Rho Crítico (ρ_c).
- Sin selección de servidor: Los clientes entran al primer servidor disponible.
- Con selección de servidor: Existe una política para decidir a qué servidor enviar al cliente.
- Regla de Decisión: Si ρ ≥ ρ_c, es conveniente agregar el segundo servidor. Si ρ < ρ_c, el sistema funciona mejor con uno solo.
El Modelo M/G/1 y la Fórmula de Pollaczek-Khinchine
A diferencia de los modelos anteriores, el M/G/1 permite que el tiempo de atención tenga cualquier distribución, requiriendo únicamente conocer su media (E[S]) y varianza (Var[S]).
La Importancia de la Varianza
La fórmula de Pollaczek-Khinchine para el número esperado de clientes en cola (E[Lq]) demuestra que la variabilidad es perjudicial: $E[Lq] = \frac{\rho^2 + \lambda^2 \cdot Var[S]}{2(1-\rho)}$
- M/D/1 (Servicio constante): Posee σ = 0, representando la referencia de mínima congestión.
- M/M/1 (Servicio exponencial): Representa la referencia de máxima congestión por su alta variabilidad inherente.
Aplicaciones de M/G/1
Este modelo es fundamental en entornos donde los tiempos de tarea varían según el caso, tales como:
- Hospitales: Consultas de duración variable.
- Redes / IT: Transmisión de paquetes de distinto tamaño.
- Manufactura: Piezas que requieren distintos tipos de trabajo.
Sistemas con Prioridades (No Expulsivos)
Este modelo se aplica cuando existen clientes de Clase 1 (prioritarios) y Clase 2. La prioridad es no expulsiva, lo que significa que no se interrumpe al cliente que ya está siendo atendido.
Orden de Cálculo para el Tiempo de Espera (T_q)
Un cliente de clase 1 debe esperar:
- El residuo del tiempo del cliente que ya está en servicio (independientemente de su clase).
- El tiempo de servicio de todos los clientes de clase 1 que ya estaban en la fila.
- Posteriormente, recibe su propia atención.
Casos Prácticos y Modelización Numérica
Las fuentes detallan diversos escenarios de aplicación real:
- Fábrica de Periscopios: Un sistema de dos procesos consecutivos (corte y doblado) que requiere el cálculo de probabilidades de estado para determinar la saturación en cada etapa.
- Sector de Cajas de Supermercado: Operación mediante fila única que conduce a dos cajas registradoras idénticas. Se analizan métricas como la probabilidad de sistema vacío y el tiempo promedio en cola.
- Enrutamiento de Paquetes: Uso del Teorema de Little (L = λ ⋅ W) para despejar la tasa de arribos y determinar el tiempo de permanencia en buffers de routers con alta capacidad de servicio.
- Sistemas de IA y APIs: Aplicación del modelo M/G/1 para gestionar solicitudes de backend donde la variabilidad del servicio es alta.