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#+title: Resumen Parcial 2
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#+author: fede & notebooklm
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* Intro
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El análisis de los sistemas de colas permite identificar cuellos de botella, optimizar recursos y mejorar la experiencia del usuario mediante la reducción de los tiempos de espera. Los hallazgos principales destacan que:
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- Eficiencia del Sistema M/M/2
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La transición de un sistema de servidor único (M/M/1) a uno doble con fila única reduce drásticamente el tiempo de permanencia, superando en eficiencia a la configuración de dos colas separadas.
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- Impacto de la Variabilidad (M/G/1)
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En sistemas con un solo servidor, la varianza del tiempo de servicio es un factor crítico; a mayor variabilidad, mayor es la longitud de la cola, incluso si la velocidad media se mantiene constante.
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- Criterios de Intervención
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La decisión de añadir servidores (especialmente si son de distinta velocidad) depende de un valor límite de utilización denominado "Rho Crítico" (\rho_c).
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- Gestión de Prioridades
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Los sistemas no expulsivos permiten dar atención preferencial a clases de clientes específicas sin interrumpir el servicio en curso.
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* El Modelo M/M/2: Eficiencia y Estructura
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El modelo M/M/2 se define por tener arribos que siguen un proceso de Poisson, tiempos de servicio exponenciales y dos servidores que trabajan en paralelo atendiendo una fila única.
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** Características y Beneficios
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- Detección de Cuellos de Botella: Permite identificar dónde se satura el proceso.
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- Sensación de Equidad: Al utilizar una fila única, se evita la percepción de que otras filas avanzan más rápido, lo cual es común en sistemas de filas múltiples.
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- Uso de Recursos: Maximiza la ocupación de los servidores, evitando que uno permanezca ocioso mientras el otro tiene clientes en espera.
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** Parámetros Críticos y Estabilidad
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Para que el sistema sea estable, se debe cumplir la condición \lambda < 2\mu (la tasa de llegadas debe ser menor a la capacidad total de servicio).
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| Característica | M/M/1 | M/M/2 |
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|------------------------------+---------------------------+---------------------------|
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| Número de servidores | 1 | 2 |
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| Intensidad de tráfico (\rho) | $\frac{\lambda}{\mu}$ | $\frac{\lambda}{2\mu}$ |
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| Tiempo en el sistema (W) | $\frac{1}{(\mu(1-\rho))}$ | $\frac{1}{\mu(1-\rho^2)}$ |
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| Tiempo de espera | Mayor | Menor |
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* Comparativa Estratégica: M/M/1 vs. M/M/2
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La intervención en un sistema saturado es necesaria cuando las colas aumentan de forma sostenida o el servidor está cerca de su límite.
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Diagnóstico de Intervención
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- Sistema Aceptable: E(n) < 3 clientes.
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- Necesita Intervención: E(n) > 5 clientes.
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Caso de Ejemplo: Bajo una tasa de arribos \lambda = 8 y servicio \mu = 10:
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1. En M/M/1, el tiempo medio en el sistema es de 30 minutos.
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2. Al pasar a M/M/2, el tiempo medio se reduce a 7.1 minutos.
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* Servidores Heterogéneos y Selección de Servidor
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Cuando se dispone de un servidor rápido (\mu_1) y uno lento (\mu_2), la decisión de añadir el segundo servidor depende del Rho Crítico (\rho_c).
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- Sin selección de servidor: Los clientes entran al primer servidor disponible.
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- Con selección de servidor: Existe una política para decidir a qué servidor enviar al cliente.
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- Regla de Decisión: Si \rho \geq \rho_c, es conveniente agregar el segundo servidor. Si \rho < \rho_c, el sistema funciona mejor con uno solo.
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* El Modelo M/G/1 y la Fórmula de Pollaczek-Khinchine
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A diferencia de los modelos anteriores, el M/G/1 permite que el tiempo de atención tenga cualquier distribución, requiriendo únicamente conocer su media (E[S]) y varianza (Var[S]).
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** La Importancia de la Varianza
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La fórmula de Pollaczek-Khinchine para el número esperado de clientes en cola (E[Lq]) demuestra que la variabilidad es perjudicial: $E[Lq] = \frac{\rho^2 + \lambda^2 \cdot Var[S]}{2(1-\rho)}$
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- M/D/1 (Servicio constante): Posee \sigma = 0, representando la referencia de mínima congestión.
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- M/M/1 (Servicio exponencial): Representa la referencia de máxima congestión por su alta variabilidad inherente.
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** Aplicaciones de M/G/1
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Este modelo es fundamental en entornos donde los tiempos de tarea varían según el caso, tales como:
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- Hospitales: Consultas de duración variable.
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- Redes / IT: Transmisión de paquetes de distinto tamaño.
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- Manufactura: Piezas que requieren distintos tipos de trabajo.
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* Sistemas con Prioridades (No Expulsivos)
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Este modelo se aplica cuando existen clientes de Clase 1 (prioritarios) y Clase 2. La prioridad es no expulsiva, lo que significa que no se interrumpe al cliente que ya está siendo atendido.
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** Orden de Cálculo para el Tiempo de Espera (T_q)
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Un cliente de clase 1 debe esperar:
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1. El residuo del tiempo del cliente que ya está en servicio (independientemente de su clase).
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2. El tiempo de servicio de todos los clientes de clase 1 que ya estaban en la fila.
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3. Posteriormente, recibe su propia atención.
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* Casos Prácticos y Modelización Numérica
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Las fuentes detallan diversos escenarios de aplicación real:
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- Fábrica de Periscopios: Un sistema de dos procesos consecutivos (corte y doblado) que requiere el cálculo de probabilidades de estado para determinar la saturación en cada etapa.
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- Sector de Cajas de Supermercado: Operación mediante fila única que conduce a dos cajas registradoras idénticas. Se analizan métricas como la probabilidad de sistema vacío y el tiempo promedio en cola.
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- Enrutamiento de Paquetes: Uso del Teorema de Little (L = \lambda \cdot W) para despejar la tasa de arribos y determinar el tiempo de permanencia en buffers de routers con alta capacidad de servicio.
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- Sistemas de IA y APIs: Aplicación del modelo M/G/1 para gestionar solicitudes de backend donde la variabilidad del servicio es alta.
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